Himpunan bebas (teori graf)
Himpunan Bebas atau Independent Set dalam teori grafik adalah sebuah set independen atau set stabil adalah serangkaian simpul (vertex) dalam graf, tidak ada dua yang berdekatan. Artinya,ada himpunan I dari simpul tersebut dimana untuk setiap dua simpul dalam I, tidak ada tepi yang menghubungkan keduanya. Hal ini Ekuivalen dengan pernyataan bahwa masing-masing sisi (edge) dalam grafik memiliki paling banyak satu titik akhir di I.
Perhatikan gambar berikut ini yang menjelaskan simpul yang adalah Himpinan bebas dan yang bukan tergolong himpunan bebas : Berdasarkan komposisi graf diatas jika dipilih Himpunan Bebas = { c } maka yang bukan termasuk Himpunan bebas = { b, e, d}
Himpunan Set maksimum
Untuk mendapatkan himpunan bebas maksimum, mana digunakan pendekatan dengan Teorema untuk setiapp graf G (V,E) dengan Minimum Vertex Cover dan Himpunan set maksimum sedemikian :
- Vertex Cover (minimum) U Himpunan bebas = Himpunan hingga Simpul
- Vertex Cover (minimum) ∩ Maksimum Himpunan bebas = ø
Pengembangan
Dengan keberadaan himpunan bebas, dapat dicari korelasi dan kombinasi lainnya dari Graf yang secara langsung akan mengungkapkan temuan-temuan lain pada graf, hal ini di tuangkan pada klaim dan sejumlah teorema
Klaim VC = V - IS
Keberadaan Himpunan Bebas merumuskan sejumlah aturan lain sehubungan dengan komposisi graf yang diformulasikan sedemikian : VC = V - IS
- VC = Vertex Cover
- V = Himpunan vertex
- IS = Himpunan Bebas
Mengacu pada Graf diatas, jika didapati Himpunan Bebas = { 1,5,4,3} maka VC yang didapat berdasarkan aturan VC = C - IS adalah { 2,6}
Klaim IS U VC = V
Dengan diketahuinya Himpunan bebas maka akan diketahui pula Vertex Covernya dengan rumus : VC = V -IS Mengacu pada gambar graf ke dua,ama jika didapati Himpunan bebas = { 1,5,4,3} maka vertex cover dihitung dari sisa jumlah vertex dikurangi Himpunan bebas sehingga didapat = {2,6}
CLIQUE
Clique adalah himpunan hingga Vertex CL ⊆ V dimana setiap pasang vertex U, V ∈ CL maka ( U,V) ∈ E Dengan kondisi demikian, CLIQUE secara total merupakan kebalikan dari Himpinan Bebas (IS) dan CLIQUE (CL) membentuk graf komplit. Jadi jika kita mengetahui CLIQUE pada graf, maka akan pula kita dapatkan himpunan bebasnya
Langkah yang dilakukan untuk mendapatkan Himpunan bebas dari CLIQUE yaitu : Buat graf komplemen G' dimana :
- G' = (V',E')
- V' = V
- E' = {(U,V) | (U,V) bukan bagian dari E}
Dari graf yang menjadi aksen dari graf sebelumnya dapat disimbulkan sebuah Teorema : IS ⊆ V, CL ⊆ V, IS = CL berdasarkan Teorema tersebut dapat dibuktikan :
- IS = U, V ∈ IS -> (U,V) bukan bagian dari E
- CL = U,V ∈ CL -> (U,V) ∈ E