Bikuaternion

Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion $w+xi+yj+zk\ \!$ di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu:

• Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa
• Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion)
• Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion).

Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda.

Definisi

Definisi bikuaternion $q=u(1)+vi+wj+xk\ \!$ adalah

di mana: ${1,i,j,k}\ \!$ adalah elemen-elemen kuaternion $u,v,w,x\ \!$ adalah variabel kompleks.

Dan juga, unit imaginer di bilangan-bilangan kompleks ini tidak dituliskan dengan huruf i, melainkan dengan huruf h, karena huruf i digunakan untuk melambangkan elemen kedua himpunan kuaternion.

Contoh:

${\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}$

Jika

$q=u(1)+vi+wj+xk\ \!$,

maka

$q=(5.0+3.2h)+(7.1+0.6h)i+(4.8+1.9h)j+(6.7+2.2h)k\ \!$.

Bentuk matriks

Bikuaternion $q=u(1)+vi+wj+xk\ \!$ bisa dituliskan dalam bentuk matriks kompleks 2x2:

${\begin{bmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{bmatrix}}$.

Contoh: Jika

${\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}$

maka

$={\begin{bmatrix}(5.0+3.2h)+h(7.1+0.6h)&(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)\\-(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)&(5.0+3.2h)-h(7.1+0.6h)\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}5.0+3.2h-0.6+7.1h&4.8+1.9h-2.2+6.7h\\-4.8-1.9h-2.2+6.7h&5.0+3.2h+0.6-7.1h\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}4.4+10.3h&2.6+8.6h\\-7.0+4.8h&5.6-3.9h\end{bmatrix}}$.

Konjugat

Bikuaternion memiliki 2 jenis konjugat, yaitu:

• bikonjugat (ataupun biskalar minus bivektor): $q^{*}=w-xi-yj-zk\!\ ,$
• konjugat kompleks dari koefisien bikuaternion: $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }i+y^{\star }j+z^{\star }k\!$.

di mana:

$x^{\star }=a-bh$ dan $x=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1$

$y^{\star }=a-bh$ dan $y=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1$

$z^{\star }=a-bh$ dan $z=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1$.

Selanjutnya:

${\begin{aligned}(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\\(pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star }\\(q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}\end{aligned}}$