Varians

Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu peubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran bagi persebaran (dispersi) data. Yang diukur adalah seberapa jauh data tersebar di sekitar rerata). Varians merupakan salah satu parameter bagi distribusi normal. Akar dari varians dikenal sebagai simpangan baku (standard deviation). Istilah varians pertama kali diperkenalkan oleh Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

Batasan

Jika suatu peubah acak X mempunyai rerata μ = E[X], varians dari X atau Var(X) adalah

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].\,$

Peubah Acak Kontinu

Jika peubah acak X berasal dari data kontinu dengan fungsi kepekatan peluang (probability density function) f(x),

$\operatorname {Var} (X)=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,,$

untuk $\mu$ adalah nilai harapan. Sebagai misal,

$\mu =\int x\,f(x)\,dx\,,$

Peubah Acak Diskret

Jika peubah acak X berasal dari data diskret dengan fungsi massa peluang (probability mass function) x₁ ↦ p₁, ..., x_n ↦ p_n, akan berlaku

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2}$

untuk $\mu$ adalah nilai harapan. Sebagai misal,

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}$ .

Contoh

Distribusi Eksponensial

Sebuah distribusi eksponensial dimana parameter λ merupakan distribusi continues dengan interval [0,∞). Maka fungsi probabilitas densiti dinyatakan dengan:

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,$

dan nilai yang diharapkan untuk μ = λ⁻¹. Maka, varians menjadi:

$\int _{0}^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx=\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}(x-\lambda ^{-1})^{2}\,dx=\lambda ^{-2}.\,$

Maka distribusi eksponensial untuk variabel random σ² = μ².

Lemparan Dadu

Sebuah dadu enam muka dapat dijadikan model untuk menyatakan variabel random discrete dimana angka yang keluar dari 1 sampai 6. Asumsi bahwa keenam muka dadu memiliki kemungkinan yang sama untuk keluar, $\textstyle {\frac {1}{6}}$. Angka yang diharapkan adalah (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5. Maka varians dapat dihitung:

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {1}{6}}(i-3.5)^{2}={\tfrac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(i-3.5)^{2}&={\tfrac {1}{6}}\left((-2.5)^{2}{+}(-1.5)^{2}{+}(-0.5)^{2}{+}0.5^{2}{+}1.5^{2}{+}2.5^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\cdot 17.50={\tfrac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

Rumus umum untuk varians dari angka X dari dadu di sisi n adalah:

${\begin{aligned}\sigma ^{2}=E(X^{2})-(E(X))^{2}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\tfrac {1}{4}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

Pranala luar

• Makalah asli Fisher mengenai varians (pdf)