RSA

RSA di bidang kriptografi adalah sebuah algoritma pada enkripsi public key. RSA merupakan algoritma pertama yang cocok untuk digital signature seperti halnya ekripsi, dan salah satu yang paling maju dalam bidang kriptografi public key. RSA masih digunakan secara luas dalam protokol electronic commerce, dan dipercaya dalam mengamnkan dengan menggunakan kunci yang cukup panjang.

Sejarah RSA

Algortima RSA dijabarkan pada tahun 1977 oleh tiga orang : Ron Rivest, Adi Shamir dan Len Adleman dari Massachusetts Institute of Technology. Huruf RSA itu sendiri berasal dari inisial nama mereka (Rivest—Shamir—Adleman).

Clifford Cocks, seorang matematikawan Inggris yang bekerja untuk GCHQ, menjabarkan tentang sistem equivalen pada dokumen internal di tahun 1973. Penemuan Clifford Cocks tidak terungkap hingga tahun 1997 karena alasan top-secret classification.

Algoritma tersebut dipatenkan oleh Massachusetts Institute of Technology pada tahun 1983 di Amerika Serikat sebagai U.S. Patent 4.405.829. Paten tersebut berlaku hingga 21 September 2000. Semenjak Algoritma RSA dipublikasikan sebagai aplikasi paten, regulasi di sebagian besar negara-negara lain tidak memungkinkan penggunaan paten. Hal ini menyebabkan hasil temuan Clifford Cocks di kenal secara umum, paten di Amerika Serikat tidak dapat mematenkannya.

Operasional

Pembangkitan Kunci

Semisal Alice berkeinginan untuk mengizinkan Bob untuk mengirimkan kepadanya sebuah pesan pribadi (private message) melalui media transmisi yang tidak aman (insecure). Alice melakukan langkah-langkah berikut untuk membuat pasangan kunci public key dan private key:

Pilih dua bilangan prima p ≠ q secara acak dan terpisah untuk tiap-tiap p dan q. Hitung N = p q. N hasil perkalian dari p dikalikan dengan q.
Hitung φ = (p-1)(q-1).
Pilih bilangan bulat (integer) antara sat φ (1 < e < φ) yang juga merupakan coprime dari φ.
Hitung d hingga d e ≡ 1 (mod φ).

bilangan prima dapat diuji probabilitasnya menggunakan Fermat's little theorem- a^(n-1) mod n = 1 jika n adalah bilangan prima, diuji dengan beberapa nilai a menghasilkan kemungkinan yang tinggi bahwa n ialah bilangan prima. Carmichael numbers (angka-angka Carmichael) dapat melalui pengujian dari seluruh a, tetapi hal ini sangatlah langka.
langkah 3 dan 4 dapat dihasilkan dengan algoritma extended Euclidean; lihat juga aritmetika modular.
langkah 4 dapat dihasilkan dengan menemukan integer x sehingga d = (x(p-1)(q-1) + 1)/e menghasilkan bilangan bulat, kemudian menggunakan nilai dari d (mod (p-1)(q-1));
langkah 2 PKCS#1 v2.1 menggunakan &lamda; = lcm(p-1, q-1) selain daripada φ = (p-1)(q-1)).

Pada public key terdiri atas:

N, modulus yang digunakan.
e, eksponen publik (sering juga disebut eksponen enkripsi).

Pada private key terdiri atas:

N, modulus yang digunakan, digunakan pula pada public key.
d, eksponen pribadi (sering juga disebut eksponen dekripsi), yang harus dijaga kerahasiaannya.

Biasanya, berbeda dari bentuk private key (termasuk parameter CRT):

p dan q, bilangan prima dari pembangkitan kunci.
d mod (p-1) dan d mod (q-1) (dikenal sebagai dmp1 dan dmq1).
(1/q) mod p (dikenal sebagai iqmp).

Bentuk ini membuat proses dekripsi lebih cepat dan signing menggunakan Chinese Remainder Theorem (CRT). Dalam bentuk ini, seluruh bagian dari private key harus dijaga kerahasiaannya.

Alice mengirimkan public key kepada Bob, dan tetap merahasiakan private key yang digunakan. p dan q sangat sensitif dikarenakan merupakan faktorial dari N, dan membuat perhitungan dari d menghasilkan e. Jika p dan q tidak disimpan dalam bentuk CRT dari private key, maka p dan q telah terhapus bersama nilai-nilai lain dari proses pembangkitan kunci.

Proses enkripsi pesan

Misalkan Bob ingin mengirim pesan m ke Alice. Bob mengubah m menjadi angka n < N, menggunakan protokol yang sebelumnya telah disepakati dan dikenal sebagai padding scheme.

Maka Bob memiliki n dan mengetahui N dan e, yang telah diumumkan oleh Alice. Bob kemudian menghitung ciphertext c yang terkait pada n:

c=n^{e}\mod {N}

Perhitungan tersebut dapat diselesaikan dengan cepat menggunakan metode exponentiation by squaring. Bob kemudian mengirimkan c kepada Alice.

Proses dekripsi pesan

Alice menerima c dari Bob, dan mengetahui private key yang digunakan oleh Alice sendiri. Alice kemudian memulihkan n dari c dengan langkah-langkah berikut:

n=c^{d}\mod {N}

Perhitungan di atas akan menghasilkan n, dengan begitu Alice dapat mengembalikan pesan semula m. Prosedur dekripsi bekerja karena

c^{d}\equiv (n^{e})^{d}\equiv n^{ed}{\pmod {N}}

.

Kemudian, dikarenakan ed ≡ 1 (mod p-1) dan ed ≡ 1 (mod q-1), hasil dari Fermat's little theorem.

n^{ed}\equiv n{\pmod {p}}

dan

n^{ed}\equiv n{\pmod {q}}

Dikarenakan p dan q merupakan bilangan prima yang berbeda, mengaplikasikan Chinese remainder theorem akan menghasilkan dua macam kongruen

n^{ed}\equiv n{\pmod {pq}}

.

serta

c^{d}\equiv n{\pmod {N}}

.

Contoh proses

Berikut ini merupakan contoh dari enkripsi RSA dan dekripsinya. Parameter yang digunakan disini berupa bilangan kecil.

Kita membuat

p = 61	— bilangan prima pertama (harus dijaga kerahasiannya atau dihapus secara hati-hati)
q = 53	— bilangan prima kedua (harus dijaga kerahasiannya atau dihapus secara hati-hati)
N = pq = 3233	— modulus (diberikan kepada publik)
e = 17	— eksponen publik (diberikan kepada publik)
d = 2753	— eksponen pribadi (dijaga kerahasiannya)

Public key yang digunakan adalah (e,N). Private key yang digunakan adalah d. Fungsi pada enkripsi ialah:

encrypt(n) = n^e mod N = n¹⁷ mod 3233

dimana n adalah plaintext Fungsi dekripsi ialah:

decrypt(c) = c^d mod N = c²⁷⁵³ mod 3233

dimana c adalah ciphertext

Untuk melakukan enkripsi plaintext bernilai "123", perhitungan yang dilakukan

encrypt(123) = 123¹⁷ mod 3233 = 855

Untuk melakukan dekripsi ciphertext bernilai "855" perhitungan yang dilakukan

decrypt(855) = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

Kedua perhitungan di atas diselesaikan secara effisien menggunakan square-and-multiply algorithm pada modular exponentiation.

Padding schemes

Padding Scheme harus dibangun secara hati-hati sehingga tidak ada nilai dari m yang menyebabkan masalah keamanan. Sebagai contoh, jika kita ambil contoh sederhana dari penampilan ASCII dari m dan menggabungkan bit-bit secara bersama-sama akan menghasilkan n, kemudian pessan yang berisi ASCII tunggal karakter NUL (nilai numeris 0) akan menghasilkan n= 0, yang akan menghasilkan ciphertext 0 apapun itu nilai dari e dan N yang digunakan. Sama halnya dengan karakter ASCII tunggal SOH (nilai numeris 1) akan selalu menghasilkan chiphertext 1. Pada kenyataannya, untuk sistem yang menggunakan nilai e yang kecil, seperti 3, seluruh karakter tunggal ASCII pada pesan akan disandikan menggunakan skema yang tidak aman, dikarenakan nilai terbesar n adalah nilai 255, dan 255³ menghasilkan nilai yang lebih kecil dari modulus yang sewajarnya, maka proses dekripsi akan menjadi masalah sederhana untuk mengambil pola dasar dari ciphertext tanpa perlu menggunakan modulus N. Sebagai konsekuensinya, standar seperti PKCS didesain dengan sangat hati-hati sehingga membuat pesan asal-asalan dapat terenkripsi secara aman. Dan juga berdasar pada bagian Kecepatan, akan dijelaskan kenapa m hampir bukanlah pesan itu sendiri tetapi lebih pada message key yang dipilh secara acak.

Pengesahan pesan

RSA dapat juga digunakan untuk mengesahkan sebuah pesan. Misalkan Alice ingin mengirim pesan kepada Bob. Alice membuat sebuah hash value dari pesan tersebut, di pangkatkan dengan bilangan d dibagi N (seperti halnya pada deskripsi pesan), dan melampirkannya sebagai "tanda tangan" pada pesan tersebut. Saat Bob menerima pesan yang telah "ditandatangani", Bob memangkatkan "tanda tangan" tersebut dengan bilangan e dibagi N (seperti halnya pada enkripsi pesan), dan membandingkannya dengan nilai hasil dari hash value dengan hash value pada pesan tersebut. Jika kedua cocok, maka Bob dapat mengetahui bahwa pemilik dari pesan tersebut adalah Alice, dan pesan pun tidak pernah diubah sepanjang pengiriman.

Harap dicatat bahwa padding scheme merupakan hal yang esensial untuk mengamankan pengesahan pesan seperti halnya pada enkripsi pesan, oleh karena itu kunci yang sama tidak digunakan pada proses enkripsi dan pengesahan.

Keamanan

Penyerangan yang paling umum pada RSA ialah pada penanganan masalah faktorisasi pada bilangan yang sangat besar. Apabila terdapat faktorisasi metode yang baru dan cepat telah dikembangkan, maka ada kemungkinan untuk membongkar RSA.

Pada tahun 2005, bilangan faktorisasi terbesar yang digunakan secara umum ialah sepanjang 663 bit, menggunakan metode distribusi mutakhir. Kunci RSA pada umumnya sepanjang 1024—2048 bit. Beberapa pakar meyakini bahwa kunci 1024-bit ada kemungkinan dipecahkan pada waktu dekat (hal ini masih dalam perdebatan), tetapi tidak ada seorangpun yang berpendapat kunci 2048-bit akan pecah pada masa depan yang terprediksi.

Semisal Eve, seorang eavesdropper (pencuri dengar—penguping), mendapatkan public key N dan e, dan ciphertext c. Bagimanapun juga, Eve tidak mampu untuk secara langsung memperoleh d yang dijaga kerahasiannya oleh Alice. Masalah untuk menemukan n seperti pada n^e=c mod N di kenal sebagai permasalahan RSA.

Cara paling efektif yang ditempuh oleh Eve untuk memperoleh n dari c ialah dengan melakukan faktorisasi N kedalam p dan q, dengan tujuan untuk menghitung (p-1)(q-1) yang dapat menghasilkan d dari e. Tidak ada metode waktu polinomial untuk melakukan faktorisasi pada bilangan bulat berukuran besar di komputer saat ini, tapi hal tersebut pun masih belum terbukti.

Masih belum ada bukti pula bahwa melakukan faktorisasi N adalah satu-satunya cara untuk memperoleh n dari c, tetapi tidak ditemukan adanya metode yang lebih mudah (setidaknya dari sepengatahuan publik).

Bagaimanapun juga, secara umum dianggap bahwa Eve telah kalah jika N berukuran sangat besar.

Jika N sepanjang 256-bit atau lebih pendek, N akan dapat difaktorisasi dalam beberapa jam pada Personal Computer, dengan menggunakan perangkat lunak yang tersedia secara bebas. Jika N sepanjang 512-bit atau lebih pendek, N akan dapat difaktorisasi dalam hitungan ratusan jam seperti pada tahun 1999. Secara teori, perangkat keras bernama TWIRL dan penjelasan dari Shamir dan Tromer pada tahun 2003 mengundang berbagai pertanyaan akan keamanan dari kunci 1024-bit. Santa disarankan bahwa N setidaknya sepanjang 2048-bit.

Pada thaun 1993, Peter Shor menerbitkan Algoritma Shor, menunjukkan bahwa sebuah komputer quantum secara prinsip dapat melakukan faktorisasi dalam waktu polinomial, mengurai RSA dan algoritma lainnya. Bagaimanapun juga, masih terdapat pedebatan dalam pembangunan komputer quantum secara prinsip.

Pertimbangan praktis

Pembangkitan kunci

Menemukan bilangan prima besar p dan q pada biasanya didapat dengan mencoba serangkaian bilangan acak dengan ukuran yang tepat menggunakan probabilitas bilangan prima yang dapat dengan cepat menghapus hampir semua bilangan bukan prima.

p dan q seharusnya tidak "saling-berdekatan", agar faktorisasi fermat pada N berhasil. Selain itu pula, jika p-1 atau q-1 memeiliki faktorisasi bilangan prima yang kecil, N dapat difaktorkan secara mudah dan nilai-nilai dari p atau q dapat diacuhkan.

Seseorang seharusnya tidak melakukan metoda pencarian bilangan prima yang hanya akan memberikan informasi penting tentang bilangan prima tersebut kepada penyerang. Biasanya, pembangkit bilangan acak yang baik akan memulai nilai bilangan yang digunakan. Harap diingat, bahwa kebutuhan disini ialah "acak" dan "tidak-terduga". Berikut ini mungkin tidak memenuhi kriteria, sebuah bilangan mungkin dapat dipilah dari proses acak (misal, tidak dari pola apapun), tetapi jika bilangan itu mudah untuk ditebak atau diduga (atau mirip dengan bilangan yang mudah ditebak), maka metode tersebut akan kehilangan kemampuan keamanannya. Misalnya, tabel bilangan acak yang diterbitkan oleh Rand Corp pada tahun 1950-an mungkin memang benar-benar teracak, tetapi dikarenakan diterbitkan secara umum, hal ini akan mempermudah para penyerang dalam mendapatkan bilangan tersebut. Jika penyerang dapat menebak separuh dari digit p atau q, para penyerang dapat dengan cepat menghitung separuh yang lainnya (ditunjukkan oleh Donald Coppersmith pada tahun 1997).

Sangatlah penting bahwa kunci rahasia d bernilai cukup besar, Wiener menunjukkan pada tahun 1990 bahwa jika p di antara q dan 2q (yang sangat mirip) dan d lebih kecil daripada N^1/4/3, maka d akan dapat dihitung secara effisien dari N dan e. Kunci enkripsi e = 2 sebaiknya tidak digunakan.

Kecepatan

RSA memiliki kecepatan yang lebih lambat dibandingkan dengan DES dan algoritma simetrik lainnya. Pada prakteknya, Bob menyandikan pesan rahasia menggunakan algoritma simetrik, menyandikan kunci simetrik menggunakan RSA, dan mengirimkan kunci simetrik yang dienkripsi menggunakan RSA dan juga mengirimkan pesan yang dienkripasi secara simetrik kepada Alice.

Prosedur ini menambah permasalahan akan keamanan. Singkatnya, Sangatlah penting untuk menggunakan pembangkit bilangan acak yang kuat untuk kunci simetrik yang digunakan, karena Eve dapat melakukan bypass terhadap RSA dengan menebak kunci simterik yang digunakan.

Distribusi kunci

Sebagaimana halnya cipher, bagaimana public key RSA didistribusi menjadi hal penting dalam keamanan. Distribusi kunci harus aman dari man-in-the-middle attack (penghadang-di tengah-jalan). Anggap Eve dengan suatu cara mampu memberikan kunci arbitari kepada Bob dan membuat Bob percaya bahwa kunci tersebut milik Alice. Anggap Eve dapan "menghadang" sepenuhnya transmisi antara Alice dan Bob. Eve mengirim Bob public key milik Eve, dimana Bob percaya bahwa public key tersebut milik Alice. Eve dapat menghadap seluruh ciphertext yang dikirim oleh Bob, melakukan dekripsi dengan kunci rahasia milik Eve sendiri, menyimpan salinan dari pesan tersebut, melakukan enkripsi menggunakan public key milik Alice, dan mengirimkan ciphertext yang baru kepada Alice. Secara prinsip, baik Alice atau Bob tidak menyadari kehadiran Eve di antara transmisi mereka. Pengamanan terhadap serangan semacam ini yaitu menggunakan sertifikat digital atau komponen lain dari infrastuktur public key.

Penyerangan waktu

Kocher menjelaskan sebuah serangan baru yang cerdas pada RSA di tahun 1995: jika penyerang, Eve, mengetahui perangkat keras yang dimiliki oleh Alice secara terperinci dan mampu untuk mengukur waktu yang dibutuhkan untuk melakukan dekripsi untuk beberapa ciphertext, Eve dapat menyimpulkan kunci dekripsi d secara cepat. Penyerangan ini dapat juga diaplikasikan pada skema "tanda tangan" RSA. SAlah satu cara untuk mencegah penyerangan ini yaitu dengan memastikan bahwa operasi dekripsi menggunakan waktu yang konstan untuk setiap ciphertext yang diproses. Cara yang lainnya, yaitu dengan menggunakan properti multipikatif dari RSA. Sebagai ganti dari menghitung c^d mod N, Alice pertama-tama memilih nilai bilangan acak r dan menghitung (r^ec)^d mod N. Hasil dari penghitungan tersebut ialah rm mod N kemudian efek dari r dapat dihilangkan dengan perkalian dengan inversenya. Nilai baru dari r dipilih pada tiap ciphertext. Dengan teknik ini, dikenal sebagai message blinding (pembutaan pesan), waktu yang diperlukan untuk proses dekripsi tidak lagi berhubungan dengan nilai dari ciphertext sehingga penyerangan waktu akan gagal.

Penyerangan ciphertext adaptive

Pada tahun 1998, Daniel Bleichenbacher menjelaskan penggunaan penyerangan ciphertext adaptive, terhadap pesan yang terenkripsi menggunakan RSA dan menggunakan PKCS #1 v1 padding scheme. Dikarenakan kecacatan pada skema PKCS #1, Bleichenbacher mampu untuk melakukan serangkaian serangan terhadap implementasi RSA pada protokol Secure Socket Layer, dan secara potensial mengungkap kunci-kunci yang digunakan. Sebagai hasilnya, para pengguna kriptografi menganjurkan untuk menggunakan padding scheme yang relatif terbukti aman seperti Optimal Asymmetric Encryption Padding, dan Laboratorium RSA telah merilis versi terbaru dari PKCS #1 yang tidak lemah terdapat serangan ini.

Lihat pula

Pranala luar

(Inggris) PKCS #1: Standar Kriptografi RSA (website Laboratorium RSA)
(Inggris) Metode untuk mendapatkan Digital Signature dan Public Key Cryptosystems, R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman, Komunikasi ACM, Seri. 21 (2), 1978, halaman 120--126. Dirilis sebagai MIT "Technical Memo" pada April 1977.
(Inggris) Pengenalan tentang RSA Cryptosystem, M. Griep, Okt. 2002,