Barisan dan deret aritmetika

Deret hitung atau deret aritmatika dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3,5,7,9,11,13, ..... Deret aritmatika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

$a,a+b,a+2b,a+3b,...$

Dalam hal ini suku ke-n:

$\ a_{n}=a+(n-1)b,$

Jumlah semua suku:

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].$

Pembuktian

Suku ke-n

$a_{1}=a$

$a_{2}=a+b$

$a_{3}=a+2b$

....

$a_{n}=a+(n-1)b$

jadi jumlah suku ke-n adalah $a_{n}=a+(n-1)b$

Jumlah suku ke-n

$s_{n}=a+a+b+a+2b+....+a+(n-1)b$ .... (1)

$s_{n}=a+(n-1)b+a+(n-2)b+a+(n-3)b+....+a+2b+a+b+a$ ... (2) dibalik dengan cara cermin

persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

$s_{n}+s_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+....+2a+(n-1)b$ karena $2a+(n-1)b$ sama banyaknya menjadi jumlah $n$

$2s_{n}=n[2a+(n-1)b]$

$s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]$

Rumus umum

$a_{n}=a+(n-1)b$

$s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]$

$b=a_{n}-a_{n-1}$

$u_{t}={\frac {a+{a_{n}}}{2}}$

$n_{b}=n+(n-1)x$

$b_{b}={\frac {b}{x+1}}$