Varians

Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu peubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar. Varians nol mengindikasikan bahwa semua nilai sama. Varians selalu bernilai non-negatif: varians yang rendah mengindikasikan bahwa titik data condong sangat dekat dengan nilai rerata (nilai ekspektasi) dan antara satu sama lainnya, sementara varians yang tinggi mengindikasikan bahwa titik data sangat tersebar disekitar rerata dan dari satu sama lainnya.

Pengukuran yang sama yaitu akar kuadrat dari varians, disebut juga simpangan baku. Simpangan baku memiliki dimensi dan data yang sama, oleh karena itu bisa dibandingkan dengan deviasi dari rerata.

Varians adalah salah satu pendeskripsi dari sebuah distribusi probabilitas. Pada khususnya, varians adalah salah satu momen dari sebuah distribusi. Dalam konteks tersebut, ia menjadi bagian dari pendekatan sistematis sebagai pembeda antara distribusi probabilitas. Walau pendekatan lain telah dikembangkan, yang berbasis momen lebih menguntungkan dalam kemudahan secara matematis dan penghitungan.

Varians adalah salah satu parameter yang menjelaskan, antara lain, distribusi probabilitas sebenarnya dari suatu populasi bilangan yang diobservasi, atau distribusi probabilitas teoritis dari sebuah populasi yang tidak secara penuh diobservasi dimana sebuah bilangan sampel diambil. Pada kasus terakhir, sebuah sampel data dari distribusi dapat digunakan untuk membentuk sebuah estimasi varians dari distribusi yang mendasarinya; pada kasus sederhana estimasi ini bisa menjadi varians sampel.

Istilah varians pertama kali diperkenalkan oleh Ronald Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

Batasan

Jika suatu peubah acak X mempunyai rerata μ = E[X], varians dari X atau Var(X) adalah

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].\,$

Peubah Acak Kontinu

Jika peubah acak X berasal dari data kontinu dengan fungsi kepekatan peluang (probability density function) f(x),

$\operatorname {Var} (X)=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,,$

untuk $\mu$ adalah nilai harapan. Sebagai misal,

$\mu =\int x\,f(x)\,dx\,,$

Peubah Acak Diskret

Jika peubah acak X berasal dari data diskret dengan fungsi massa peluang (probability mass function) x₁ ↦ p₁, ..., x_n ↦ p_n, akan berlaku

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2}$

untuk $\mu$ adalah nilai harapan. Sebagai misal,

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}$ .

Contoh

Distribusi Eksponensial

Sebuah distribusi eksponensial dimana parameter λ merupakan distribusi continues dengan interval [0,∞). Maka fungsi probabilitas densiti dinyatakan dengan:

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,$

dan nilai yang diharapkan untuk μ = λ⁻¹. Maka, varians menjadi:

$\int _{0}^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx=\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}(x-\lambda ^{-1})^{2}\,dx=\lambda ^{-2}.\,$

Maka distribusi eksponensial untuk variabel random σ² = μ².

Lemparan Dadu

Sebuah dadu enam muka dapat dijadikan model untuk menyatakan variabel random discrete dimana angka yang keluar dari 1 sampai 6. Asumsi bahwa keenam muka dadu memiliki kemungkinan yang sama untuk keluar, $\textstyle {\frac {1}{6}}$. Angka yang diharapkan adalah (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5. Maka varians dapat dihitung:

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {1}{6}}(i-3.5)^{2}={\tfrac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(i-3.5)^{2}&={\tfrac {1}{6}}\left((-2.5)^{2}{+}(-1.5)^{2}{+}(-0.5)^{2}{+}0.5^{2}{+}1.5^{2}{+}2.5^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\cdot 17.50={\tfrac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

Rumus umum untuk varians dari angka X dari dadu di sisi n adalah:

${\begin{aligned}\sigma ^{2}=E(X^{2})-(E(X))^{2}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\tfrac {1}{4}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

Pranala luar

• Makalah asli Fisher mengenai varians (pdf)