Frustum

Dalam geometri , frustum (jamak: frusta atau frustum ) adalah bagian dari padatan (biasanya kerucut atau Limas ) yang terletak di antara satu atau dua bidang paralel yang memotongnya. Sebuah frustum kanan adalah paralel pemotongan dari limas kanan atau kerucut yang tepat.

Frustum Limas
Examples: Pentagonal and square frustum
Muka	n trapezoids, 2 n-gons
Rusuk	3n
titik sudut	2n
Grup simetri	Cnv, [1,n], (*nn)
Sifat-sifat	convex

Rumus

Volume

Rumus volume frustum dari piramida kuadrat diperkenalkan oleh matematika Mesir kuno dalam apa yang disebut Moskow Matematika Papirus , yang ditulis dalam dinasti ke - 13 (sekitar 1850 SM):

$V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2}).$

di mana a dan b adalah panjang sisi dasar dan atas dari piramida terpotong, dan h adalah tinggi. Orang Mesir tahu formula yang tepat untuk mendapatkan volume piramida kuadrat terpotong, tetapi tidak ada bukti dari persamaan ini yang diberikan dalam papirus Moskow.

Volume dari frustum kerucut atau Limas adalah volume padat sebelum mengiris puncak off, dikurangi volume puncak:

$V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}}$

di mana B 1 adalah area dari satu basis, B 2 adalah area dari basis yang lain, dan h 1 , h 2 adalah ketinggian tegak lurus dari puncak ke bidang dari dua basis.

Mengingat bahwa

${\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha$,

rumus untuk volume dapat dinyatakan sebagai produk proporsionalitas ini α / 3 dan perbedaan kubus dengan ketinggian h 1 dan h 2 saja.

$V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}={\frac {\alpha }{3}}(h_{1}^{3}-h_{2}^{3})$

Dengan memfaktorkan perbedaan dua kubus (a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2 )) seseorang mendapat h 1 - h 2 = h , ketinggian frustum, dan α ( h 1 2 + h 1 h 2 + h 2 2 ) / 3.

Mendistribusikan α dan menggantikannya dari definisinya, rata Heronian dari daerah B 1 dan B 2 diperoleh. Karena itu, formula alternatifnya

$V={\frac {h}{3}}(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2})$.

Bangau Aleksandria terkenal karena menurunkan formula ini dan dengan itu berhadapan dengan bilangan imajiner , akar kuadrat dari bilangan negatif.

Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar adalah

$V={\frac {\pi h}{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})$

di mana π adalah 3.14159265 ..., dan r 1 , r 2 adalah jari - jari kedua pangkalan.

Pyramidal frustum

Volume dari suatu piramidal frustum yang basisnya adalah n- sisi adalah poligon reguler

$V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}$

Luas permukaan

Frustum pada kerucut

Untuk frustum berbentuk kerucut melingkar kanan

${\begin{aligned}{\text{Luas permukaan Lateral }}&=\pi (r_{1}+r_{2})s\\&=\pi (r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}$

dan

${\begin{aligned}{\text{Total luas permukaan}}&=\pi ((r_{1}+r_{2})s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\\&=\pi ((r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\end{aligned}}$

di mana r 1 dan r 2 adalah jari-jari dasar dan atas, dan s adalah ketinggian miring dari frustum.

Luas permukaan dari frustum hak yang basis reguler mirip n -sided poligon adalah

$A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]$

Contoh

Rolo brand chocolates approximate a right circular conic frustum, although not flat on top.