Fungsi invers trigonometri

Fungsi trigonometri invers adalah fungsi invers suatu fungsi trigonometri (dengan domain yang terbatas). Dalam kata lain, fungsi trigonometri invers adalah fungsi invers suatu fungsi sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan dan kosekan, dan digunakan untuk mencari suatu sudut dari rasio trigonometri sudut yang lain. Fungsi trigonometri invers sering digunakan di bidang teknik, navigasi, fisika dan geometri.

Dalam kalkulus

Turunan dari fungsi trigonometri invers

Artikel utama: Diferensiasi fungsi trigonometri

Turunan untuk nilai kompleks z adalah sebagai berikut:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}$

Hanya untuk nilai riil x :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}$

Untuk turunan sampel: bila $\theta =\arcsin(x)$, kita mendapatkan:

${\frac {d\arcsin(x)}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin(\theta )}}={\frac {d\theta }{\cos(\theta )\,d\theta }}={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Ekspresi sebagai integral pasti

Mengintegrasikan turunan dan menetapkan nilai pada satu titik memberikan ekspresi untuk fungsi trigonometri terbalik sebagai integral pasti:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}$

Jika x sama dengan 1, integral dengan domain terbatas adalah integral tak tentu, tetapi masih terdefinisi dengan baik.

Seri tak terbatas

Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi trigonometri terbalik juga dapat dihitung menggunakan deret pangkat, sebagai berikut. Untuk busur, deret dapat diturunkan dengan memperluas turunannya, ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$, as a binomial series, dan mengintegrasikan istilah demi istilah (menggunakan definisi integral seperti di atas). Deret untuk arctangen juga bisa diturunkan dengan memperluas turunan ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$ dalam sebuah deret geometris, dan menerapkan definisi integral di atas (lihat deret Leibniz).

${\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

$\arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i$

Seri untuk fungsi trigonometri terbalik lainnya dapat diberikan dalam hal ini sesuai dengan hubungan yang diberikan di atas. Sebagai contoh, $\arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)$, $\operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)$, and so on. Seri lain diberikan oleh:

$2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

Leonhard Euler menemukan deret untuk arctangent yang menyatu lebih cepat daripada deret Taylor:

$\arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$

(Suku dalam jumlah untuk n = 0 adalah produk kosong, jadi 1.)

Atau, ini dapat dinyatakan sebagai

$\arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.$

Deret lain untuk fungsi arctangent diberikan oleh

$\arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),$

dimana $i={\sqrt {-1}}$ adalah satuan imajiner.

Pecahan lanjutan untuk arctangen

Dua alternatif dari deret pangkat untuk arctangen adalah pecahan lanjutan umum berikut:

$\arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

Yang kedua ini berlaku di bidang kompleks potong. Ada dua potongan, dari - i ke titik tak terhingga, menuruni sumbu imajiner, dan dari i ke titik tak terhingga, menuju berfungsi paling baik untuk bilangan real yang berjalan dari −1 hingga 1. Penyebut parsial adalah bilangan asli ganjil, dan pembilang parsial (setelah yang pertama) hanya (nz)², dengan setiap kotak sempurna muncul sekali. Yang pertama dikembangkan oleh Leonhard Euler; yang kedua oleh Carl Friedrich Gauss menggunakan deret hipergeometrik Gaussian.

Integral tak tentu dari fungsi trigonometri invers

Untuk nilai nyata dan kompleks z:

${\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}$

For real x ≥ 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

For all real x not between -1 and 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\end{aligned}}$

Nilai absolut diperlukan untuk mengimbangi nilai negatif dan positif dari fungsi arcsecant dan arccosecant. Fungsi signum juga diperlukan karena nilai absolut dalam turunan dari kedua fungsi tersebut, yang membuat dua solusi berbeda untuk nilai positif dan negatif x. Ini dapat disederhanakan lebih lanjut menggunakan definisi logaritmik dari fungsi hiperbolik invers:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}$

Nilai absolut dalam argumen fungsi arcosh menciptakan setengah negatif grafiknya, membuatnya identik dengan fungsi logaritmik signum yang ditunjukkan di atas.

Semua antiturunan ini dapat diturunkan menggunakan integrasi oleh bagian dan bentuk turunan sederhana yang ditunjukkan di atas.

Contoh

Menggunakan $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (yaitu integrasi oleh bagian),

${\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}$

Kemudian

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,$

yang dengan sederhana substitusi $w=1-x^{2},\ dw=2x\,dx$ menghasilkan hasil akhir:

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Daftar

Nama	Notasi	Definisi	Domain x untuk bilangan riil	Kisaran (radian)	Kisaran (derajat)
sinus invers	y = arcsin(x)	x = sin(y)	−1 ≤ x ≤ 1	−π2 ≤ y ≤ π2	−90° ≤ y ≤ 90°
kosinus invers	y = arccos(x)	x = cos(y)	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
tangen invers	y = arctan(x)	x = tan(y)	-∞ ≤ x ≤ ∞	−π2 < y < π2	−90° < y < 90°
kotangen invers	y = arccot(x)	x = cot(y)	-∞ ≤ x ≤ ∞	0 < y < π	0° < y < 180°
sekan invers	y = arcsec(x)	x = sec(y)	x ≤ −1 atau x ≥ 1	0 ≤ y ≤ π; y ≠ π2	0° ≤ y ≤ 180°; y ≠ 90°
kosekan invers	y = arccsc(x)	x = csc(y)	x ≤ −1 atau x ≥ 1	−π2 ≤ y ≤ π2; y ≠ 0	−90° ≤ y ≤ 90°; y ≠ 0°

Hubungan antara fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri invers

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$	Diagram
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions". MathWorld. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Inverse Tangent". MathWorld.