Darab (matematika)

Dalam matematika, darab (atau hasilkali) adalah hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan. Contohnya, 30 adalah hasil perkalian 6 dan 5 (hasil perkalian), dan $x\cdot (2+x)$ adalah darab dari $x$ dan $(2+x)$ (menunjukkan bahwa kedua faktor harus dikalikan bersama).

Urutan bilangan riil atau bilangan kompleks adalah dikalikan tidak ada hubungannya dengan darab; hal ini dikenal sebagai hukum komutatif pada perkalian. Ketika matriks atau anggota dari berbagai aljabar asosiatif lainnya dikalikan, darab biasanya tergantung pada urutan faktor. Perkalian matriks, contohnya, bersifat non-komutatif, begitu pula perkalian pada aljabar lain pada umumnya.

Ada banyak jenis darab dalam matematika: selain dapat mengalikan hanya bilangan, polinomial atau matriks, seseorang juga dapat mendefinisikan hasil kali pada banyak struktur aljabar yang berbeda.

Hasil perkalian dua angka

Artikel utama: Perkalian

Hasil perkalian dua bilangan asli

3 kali 4 sama dengan 12

Menempatkan beberapa batu menjadi pola persegi panjang dengan baris $r$ dan kolom $s$ memberikan

$r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ masa}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ masa}}}$

Pendekatan lain untuk perkalian yang berlaku juga untuk bilangan real adalah dengan terus menerus meregangkan garis bilangan dari 0 (sehingga 1 ditarik ke satu Faktor (mathem) dan mencari darab, di mana faktor lainnya direntangkan.

darab dari dua bilangan bulat

Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. darabnya ditentukan oleh hasil kali jumlah positifnya, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:

${\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}$

(aturan ini adalah konsekuensi yang diperlukan dari menuntut distributivitas perkalian atas penjumlahan, dan bukan merupakan aturan tambahan.)

Singkatnya, kami memiliki:

• Minus kali Minus memberi Plus
• Minus kali Plus memberi Minus
• Plus kali Minus memberi Minus
• Plus kali Plus memberi Plus

Hasil perkalian dua pecahan

Dua pecahan dapat dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya:

${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}$

darab dari dua bilangan riil

Untuk definisi yang tepat dari darab dari dua bilangan real lihat Konstruksi bilangan real.

Rumus

Dalil — Tinjau a > 0 dan b > 0. Bila 1 < p < ∞ dan q := pp - 1 maka

ab = min0 < t < ∞ t ^p a ^pp + t ^{- q} b ^qq.

Bukti —

Mendefinisikn fungsi nilai real f pada bilangan real positif dengan

f (t) := t ^p a ^pp + t ^-q b ^qq

untuk setiap t > 0 dan kemudian hitung minimumnya.

Hasil perkalian dua bilangan kompleks

Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa $i^{2}=-1$, sebagai berikut:

${\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\cdot c\,i+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}$

Arti geometris perkalian kompleks

Bilangan kompleks dalam koordinat polar.

Bilangan kompleks dapat ditulis dalam koordinat polar:

$a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }$

Selanjutnya,

$c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },$

dari mana seseorang memperolehnya

$(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.$

Arti geometrisnya adalah bahwa besarannya dikalikan dan argumennya ditambahkan.

darab dari dua angka empat

darab dari dua quaternions dapat ditemukan dalam artikel di quaternions. Perhatikan, dalam hal ini, itu $a\cdot b$ dan $b\cdot a$ berbeda secara umum.

darab urutan

Lihat pula: Perkalian § Produk_urutan

Operator perkalian untuk perkalian urutan dilambangkan dengan huruf besar Yunani pi ∏ (dalam analogi penggunaan modal Sigma ∑ sebagai simbol penjumlahan). Contohnya ekspresi $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$is cara lain untuk menulis $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$.

darab dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan hanyalah bilangan itu sendiri; hasil kali tanpa faktor sama sekali dikenal sebagai darab kosong, dan sama dengan 1.

Gelanggang komutatif

Gelanggang komutatif memiliki operasi darab.

Kelas residu dari bilangan bulat

Artikel utama: kelas residu

Kelas residu pada gelanggang $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ bisa ditambahkan:

$(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}$

dan dikalikan:

$(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}$

Konvolusi

Artikel utama: Konvolusi

Konvolusi gelombang persegi dengan sendirinya memberikan fungsi segitiga

Dua fungsi dari riil ke dirinya sendiri dapat dikalikan dengan cara lain, yang disebut konvolusi.

Bila

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{dan}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,$

kemudian integral

$(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$

didefinisikan dengan baik dan disebut konvolusi.

Di bawah Transformasi Fourier, konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-bijaksana.

Gelanggang polinomial

Artikel utama: Gelanggang polinomial

darab dari dua polinomial diberikan sebagai berikut:

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}$

dengan

$c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}$

darab dalam aljabar linear

Ada banyak jenis hasil kali dalam aljabar linear. Beberapa di antaranya memiliki nama yang sangat mirip (darab luar, darab eksterior) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (darab luar, darab tensor, darab Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. Gambaran singkat tentang ini diberikan di bagian berikut.

Perkalian skalar

Artikel utama: Perkalian skalar

Dengan definisi ruang vektor, seseorang dapat membentuk darab dari setiap skalar dengan vektor apapun, memberikan peta $\mathbb {R} \times V\rightarrow V$.

darab skalar

Artikel utama: Produk skalar

Sebuah darab skalar adalah peta bi-linear:

$\cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R}$

dengan kondisi sebagai berikut $v\cdot v>0$ untuk semua $0\not =v\in V$.

Dari hasil perkalian skalar, seseorang dapat mendefinisikan sebuah norma dengan membiarkan $\|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}$.

darab skalar juga memungkinkan seseorang untuk menentukan sudut antara dua vektor:

$\cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}$

Dalam ruang Euklides $n$ dimensi, darab skalar standar (disebut darab titik) diberikan oleh:

$\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}$

Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi

Artikel utama: Produk silang

Perkalian silang dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus kedua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajaran genjang yang direntang oleh kedua faktor tersebut.

Perkalian silang juga dapat dinyatakan sebagai formal determinan:

$\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}$

Komposisi pemetaan linear

Artikel utama: Komposisi fungsi

Pemetaan linear dapat didefinisikan sebagai fungsi f antara dua ruang vektor V dan W dengan bidang yang mendasari F, memuaskan

$f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .$

Bila seseorang hanya mempertimbangkan ruang vektor berdimensi hingga, maka

$f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},$

in which b_V dan b_W menunjukkan basis dari V dan W, dan v_i menunjukkan komponen dari v on b_Vⁱ, and Konvensi penjumlahan Einstein diterapkan.

Sekarang kita perhatikan komposisi dua pemetaan linier antara ruang vektor berdimensi hingga. Biarkan pemetaan linear f peta V untuk W, dan biarkan pemetaan linier g memetakan W ke U. Kemudian seseorang bisa mendapatkan

$g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.$

Atau dalam bentuk matriks:

$g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,$

di mana i - baris, j - elemen kolom dari F, dilambangkan dengan F_ij, is f^j_i, dan G_ij=g^j_i.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear dapat direpresentasikan secara serupa oleh rantai perkalian matriks.

darab dari dua matriks

Artikel utama: Produk matriks

Diberikan dua matriks

$A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ dan $B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}$

darab mereka diberikan oleh

$B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}$

Komposisi fungsi linear sebagai hasil perkalian matriks

Ada hubungan antara komposisi fungsi linier dan hasil kali dua matriks. Untuk melihat ini, maka r = dim(U), s = dim(V) dan t = dim(W) menjadi (terbatas) dimensi dari ruang vektor U, V dan W. Mari ${\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ menjadi basis dari U, ${\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}$ be a basis of V and ${\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}$ menjadi dasar W. Dalam hal dasar ini, maka $A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ menjadi matriks yang mewakili f : U → V and $B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}$ menjadi matriks yang mewakili g : V → W. Then

$B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}$

adalah matriks yang mewakili $g\circ f:U\rightarrow W$.

Dengan kata lain: perkalian matriks adalah uraian dalam koordinat dari komposisi fungsi linier.

Hasil kali sensor dari ruang vektor

Artikel utama: Produk Tensor

Diberikan dua ruang vektor berdimensi terbatas V dan W, hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai (2,0) -tensor yang memuaskan:

$V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},$

dimana V^* dan W^* menunjukkan spasi ganda dari V dan W.

Untuk ruang vektor berdimensi tak hingga, satu juga memiliki:

• darab Tensor dari ruang Hilbert
• darab tensor topologi.

darab tensor, hasil luar dan darab Kronecker semuanya menyampaikan gagasan umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa darab Kronecker hanyalah darab tensor matriks, sehubungan dengan basis tetap sebelumnya, sedangkan darab tensor biasanya diberikan dalam definisi intrinsik. Hasil kali luar hanyalah hasil kali Kronecker, terbatas pada vektor (bukan matriks).

Kelas semua objek dengan hasil kali tensor

Secara umum, setiap kali seseorang memiliki dua objek matematika yang dapat digabungkan dengan cara yang berperilaku seperti hasil kali tensor aljabar linear, maka ini dapat dipahami secara umum sebagai darab internal dari kategori monoid. Artinya, kategori monoidal menangkap dengan tepat arti dari darab tensor; ini menangkap dengan tepat gagasan mengapa darab tensor berperilaku seperti itu. Lebih tepatnya, kategori monoidal adalah kelas dari semua benda (dari jenis tertentu) yang memiliki perkalian tensor.

darab lain dalam aljabar linear

Jenis darab lain dalam aljabar linier meliputi:

• darab Hadamard
• darab Kronecker
• darab dari tensor:
  • darab baji atau darab eksterior
  • darab interior
  • darab luar
  • darab Tensor

darab Kartesius

Dalam teori himpunan, perkalian kartesius adalah operasi matematika yang mengembalikan himpunan (atau himpunan darab) dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan A dan B, darab kartesius A × B adalah himpunan dari semua pasangan terurut (a, b) dimana a ∈ A dan b ∈ B.

Kelas dari semua benda (dari tipe) tertentu yang memiliki hasilkali Kartesius disebut kategori kartesius. Banyak di antaranya adalah Kategori tertutup kartesius. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

Lihat pula

• Produk tensor Deligne kategori abelian – hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan
• darab tidak terbatas
• Bilangan p-adic
• darab tak terbatas
• Operasi biner berulang – hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan
• Perkalian – operasi matematika dan Perkalian, Perkalian, Dengan, Kali, Banyak

Pranala luar

• Product, PlanetMath.org.