Perkalian

Perkalian (sering dilambangkan dengan simbol silang ×, oleh garis tengah operator titik ⋅, oleh penjajaran, atau, pada komputer, dengan asterisk *) adalah operasi matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain. Sederhanya perkalian merupakan penjumlahan berulang. Operasi ini adalah salah satu dari empat operasi dasar di dalam aritmetika dasar (yang lainnya adalah perjumlahan, perkurangan, dan perbagian).

Empat kantong berisi masing-masing tiga kelereng menghasilkan dua-belas kelereng (4 × 3 = 12).

Perkalian juga bisa dianggap sebagai skala. Di sini kita melihat 2 dikalikan dengan 3 menggunakan penskalaan, menghasilkan 6 sebagai hasilnya.

Animasi untuk perkalian 2 × 3 = 6.

4 × 5 = 20. Persegi panjang besar terdiri dari 20 kotak, masing-masing berukuran 1 kali 1.

Daerah yang berbentuk persegi panjang 4.5m × 2.5m = 11.25m²; 4½ × 2½ = 11¼

Perkalian terdefinisi untuk seluruh bilangan di dalam suku-suku perjumlahan yang diulang-ulang; misalnya, 3 dikali 4 (sering kali dibaca "3 kali 4") dapat dihitung dengan menjumlahkan 3 salinan dari 4 bersama-sama:

$3\times 4=4+4+4=12.\!\,$

Walaupun demikian, dengan struktur gramatikal yang berbeda, Sekolah Dasar di Negara Jepang mengajarkan perkalian dengan kesepakatan yang sebaliknya berbeda yang dijabarkan berikut:

$3\times 4=3+3+3+3=12.\!\,$

Secara matematika, penulisan $3\times 4=4+4+4$ atau penulisan $3\times 4=3+3+3+3$ keduanya adalah benar.

Perkalian bilangan rasional (pecahan) dan bilangan riil didefinisi oleh perumuman gagasan dasar ini.

Perkalian dapat juga digambarkan sebagai pencacahan objek yang disusun di dalam persegi panjang (untuk semua bilangan) atau seperti halnya penentuan luas persegi panjang yang sisi-sisinya memberikan panjang (untuk bilangan secara umum). Balikan dari perkalian adalah perbagian: ketika 3 kali 4 sama dengan 12, maka 12 dibagi 3 sama dengan 4.

Perkalian diperumum ke jenis bilangan lain (misalnya bilangan kompleks) dan ke konstruksi yang lebih abstrak seperti matriks.

Notasi dan terminologi

Lihat pula: Pengganda (linguistik)

Tanda perkalian ×

Dalam aritmetika, perkalian ditulis menggunakan tanda "$\times$" di antara istilah (yaitu, dalam notasi infix). Sebagai contoh,

$2\times 3=6$ ("dua kali tiga sama dengan enam")

$3\times 4=12$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

Tanda itu dikodekan dalam Unicode U+00D7 × tanda perkalian (HTML: × ×).

Terdapat notasi matematika lainnya untuk perkalian:

• Perkalian dilambangkan dengan tanda titik, biasanya titik posisi tengah (kadang digunakan adalah tanda titik):

5 ⋅ 2 atau 5 . 3

Notasi titik tengah, dikodekan dalam Unicode sebagai U+22C5 ⋅ operasi titik, adalah standar di Amerika Serikat dan negara lain dimana titik digunakan sebagai titik desimal. Jika karakter operasi titik tidak dapat diakses, tanda interpunct (·) digunakan. Di Inggris Raya dan Irlandia, titik/tanda titik digunakan untuk perkalian dan titik tengah digunakan untuk titik desimal, meskipun penggunaan titik / titik desimal adalah hal yang umum. Di negara lain (termasuk Indonesia) menggunakan koma sebagai tanda desimal, titik atau titik tengah digunakan untuk perkalian.

• Dalam aljabar, perkalian yang melibatkan variabel ditulis sebagai penjajaran (misal, xy untuk x dengan y atau 5x sebanyak lima kali x), disebut sebagai perkalian tersirat. Notasi digunakan untuk besaran yang dikelilingi oleh tanda kurung (misal, 5 (2) atau (5) (2) untuk lima kali dua). Penggunaan perkalian implisit dengan ambiguitas ketika variabel gabungan sebenarnya cocok dengan nama variabel lain, ketika nama variabel di depan tanda kurung bisa disalahartikan dengan nama fungsi, atau dalam penentuan urutan operasi yang benar.
• Dalam perkalian vektor, terdapat perbedaan antara tanda silang dan simbol titik. Simbol silang umumnya menunjukkan pengambilan perkalian silang dari dua vektor, menghasilkan vektor sebagai hasilnya, sedangkan titik menunjukkan pengambilan perkalian titik dari dua vektor, menghasilkan skalar.

Dalam pemrograman komputer, tanda bintang (sebagai 5*2) merupakan notasi yang paling umum. Karena sebagian besar komputer secara historis terbatas pada himpunan karakter kecil (seperti ASCII dan EBCDIC) yang tidak memiliki tanda perkalian (sebagai ⋅ atau ×), sedangkan tanda bintang muncul di setiap keyboard. Penggunaan ini berasal dari bahasa pemrograman FORTRAN.

Sifat-sifat

Untuk bilangan real dan kompleks, yang meliputi bilangan asli, bilangan bulat dan pecahan, perkalian memiliki sifat sebagai berikut:

Sifat komutatif

Urutan di mana dua nomor dikalikan atau ditambahkan tidak menjadi masalah:

$x\cdot y=y\cdot x$.

Sifat asosiatif

Pernyataan yang hanya melibatkan perkalian atau penambahan tidak terpengaruh dengan urutan operasi:

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

Sifat distributif

Identitas ini adalah sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

Unsur identitas

Identitas perkalian adalah 1; apa pun jika dikalikan dengan satu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Hal ini dikenal sebagai sifat identitas:

$x\cdot 1=x$

Unsur nol

Setiap angka dikalikan dengan nol adalah nol. Hal ini dikenal sebagai sifat nol perkalian:

$x\cdot 0=0$

Ada sejumlah sifat perkalian lainnya yang tidak selalu berlaku untuk semua jenis bilangan.

Negasi

Minus satu dikali suatu bilangan sama dengan balikan aditif dari bilangan tersebut.

$(-1)\cdot x=(-x)$

Minus satu dikali minus satu adalah positif satu.

$(-1)\cdot (-1)=1$

Unsur balikan

Untuk setiap angka x, kecuali nol, memiliki invers perkalian, ${\frac {1}{x}}$, sehingga $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$

Sistem matematika lainnya yang mencakup operasi perkalian mungkin tidak memiliki semua sifat ini. Misalnya, perkalian tidak komutatif untuk matriks.

Catatan

Konsep perkalian ini mendasari semua penerapan dalam kehidupan nyata. Contoh penerapan nyata adalah dalam bidang medis. Ketika kita mendapatkan obat dari dokter 3x2 berarti 3 kali dalam sehari (pagi, siang, malam) masing-masing 2 (pil). Bukan sebaliknya, 2 kali dalam sehari dengan masing-masing 3 (pil). Penekanan konsep perkalian ini perlu ditekankan oleh pengajar dan penulis buku.

Tetapi, perlu diingat bahwa secara matematika $3\times 2=2+2+2=3+3$ dan keduanya benar, tergantung kesepakatan yang digunakan. Umumnya di Indonesia, digunakan $3\times 2=2+2+2$, walaupun $3\times 2=3+3$ (digunakan Sekolah Dasar di Negara Jepang).

Produk urutan

Notasi pi kapital

Hasil kali rangkaian faktor dapat ditulis dengan simbol hasil kali, yang berasal dari huruf kapital $\textstyle \prod$ (pi) dalam alfabet Yunani (mirip dengan huruf kapital $\textstyle \sum$ (sigma) is used in the context of summation). Posisi unicode U + 220F (∏) berisi mesin terbang untuk menunjukkan produk seperti itu, berbeda dari U + 03A0 (Π), huruf. Arti dari notasi ini diberikan oleh:

$\prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,$

that is

$\prod _{i=1}^{4}i=24.$

Subskrip memberikan simbol untuk variabel terikat ( i dalam kasus ini), disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya ( 1 ), sedangkan superskrip ( 4 ) memberikan batas atasnya. Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi mengikuti operator perkalian, dengan nilai bilangan bulat berurutan menggantikan indeks perkalian, dimulai dari batas bawah dan ditambah 1 sampai (termasuk) batas atas. Sebagai contoh:

$\prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Secara umum, notasi didefinisikan sebagai

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},$

di mana m dan n adalah bilangan bulat atau ekspresi yang dievaluasi menjadi bilangan bulat. Dalam kasus dimana m = n, nilai produknya sama dengan nilai faktor tunggal x_m; bila m > n, produknya adalah produk kosong yang nilainya 1, apa pun ekspresi faktornya.

Produk tak hingga

Artikel utama: Produk tak hingga

Seseorang juga dapat mempertimbangkan produk dari istilah yang sangat banyak; ini disebut produk tak hingga. Secara notasi, ini terdiri dari mengganti n di atas dengan simbol tak hingga ∞. Hasil kali dari urutan tak hingga seperti itu didefinisikan sebagai batas dari produk suku n pertama, karena n tumbuh tanpa batas. Maka rumusnya adalah,

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

Seseorang juga dapat mengganti m dengan tak hingga bilangan negatif, dan mendefinisikan:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),$

asalkan kedua batasan itu ada.

Aksioma

Artikel utama: Aksioma Peano

Dalam buku Arithmetices principal, nova methodo exposita , Giuseppe Peano mengajukan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksioma-nya untuk bilangan asli. Aritmatike peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:

$x\times 0=0$

$x\times S(y)=(x\times y)+x$

Di sini S ( y ) mewakili penerus dari y , atau bilangan asli yang mengikuti y . Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmatika Peano lainnya termasuk induksi. Misalnya S (0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena

$x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x$

Aksioma untuk bilangan bulat biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekivalen dari pasangan bilangan asli yang terurut. Modelnya didasarkan pada perawatan (x,y) setara dengan x − y jika x dan y diperlakukan sebagai bilangan bulat. Jadi baik (0,1) dan (1,2) sama dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat didefinisikan dengan cara ini

$(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})$

Aturan yang −1 × −1 = 1 dapat disimpulkan

$(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0)$

Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan bilangan rasional dan kemudian ke bilangan riil.

Perkalian dengan teori himpunan

Hasil perkalian bilangan bulat bukan negatif dapat ditentukan dengan teori himpunan menggunakan bilangan pokok atau Aksioma Peano. Lihat di bawah bagaimana cara mengalikan bilangan bulat sembarangan, lalu bilangan rasional sembarang. Produk dari bilangan riil didefinisikan dalam hal produk dari bilangan rasional, lihat konstruksi bilangan riil.

Lihat pula

• Perkalian vektor
• Perkalian skalar
• Perkalian matriks

Pustaka

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)

Pranala luar

• Mempraktikkan dan Mengkaji Perkalian Diarsipkan 2008-05-25 di Wayback Machine.
• Operasi Perkalian dan Aritmetika di dalam Berbagai Sistem Bilangan
• Teknik Perkalian Cina Modern pada sebuah Sempoa
• Permainan Matematika untuk Perkalian
• Konsep Perkalian Dasar Untuk Sekolah Dasar Kelas 2