Aturan sinus

Untuk kegunaan lain, lihat Sinus (disambiguasi).

Dalam trigonometri, aturan sinus, rumus sinus, atau hukum sinus adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi sebuah segitiga sebarang terhadap sinus sudutnya. Rumus ini berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila dua sudut dan satu sisinya diketahui—masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat dua sisi dan satu dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian sah pada segitiga.

Hukum-hukum ini dinyatakan dan ditunjukkan, untuk segitiga bola, oleh Abu Nashr Mansur pada awal abad kesebelas dan, untuk bentuk bidang datar, oleh Nashiruddin ath-Thusipada awal abad ketiga belas.

Bunyi Teorema

Untuk sebarang segitiga ABC dengan sudut A, B dan C, dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut masing-masing a, b dan c (ditulis dalam huruf kecil), berlaku:

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R.$

di mana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga ABC.

Dapat ditunjukkan bahwa

${\begin{aligned}2R&={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\&={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}\end{aligned}}$

di mana $s$ setengah keliling lingkaran

$s={\frac {(a+b+c)}{2}}$

Bukti

Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.

Dapat diamati bahwa:

$\sin A={\frac {h}{b}}$ and $\;\sin B={\frac {h}{a}}$

Kemudian:

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

dan

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.$

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

Lihat pula

• Triangulasi
• Hukum kosinus