Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12

Ilustrasi teorema apit, dengan fungsi berwarna biru, diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Teorema apit dalam bidang analisis matematika, yakni analisis real dan kalkulus, merupakan teorema yang melibatkan limit pada suatu fungsi, dimana terdapat sebuah fungsi yang diapit oleh dua fungsi sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama. Sebagai ilustrasi, perhatikan pada gambar di samping bahwa terdapat fungsi berwarna biru, yang diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Teorema apit dapat diagak-agihkan sebagai berikut.

Misal $f$, $g$ dan $h$ adalah fungsi-fungsi sehingga $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$.untuk semua $x$ di dalam selang terbuka yang memuat $c$. Sebagai eksepsi mungkin di $c$, jika $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$, maka $\lim _{h\to 0}g(x)=L$.

Teorema di atas merupakan teorema apit dengan satu variabel. Teorema apit juga diagak-agihkan dengan serupa, yakni sebagai berikut.

Misalkan $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$, dan $\{c_{n}\}$ adalah barisan sehingga $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ untuk $n$ bilangan bulat positif. Bila $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$, maka $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$.

Penerapan

Dengan adanya teorema ini, dapat kita buktikan sifat-sifat limit trigonometri, yakni

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ dan $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=1$.