Nilai harapan

Dalam teori peluang, nilai harapan (juga disebut dengan ekspektasi, nilai ekspektasi, mean, rata-rata, purata, atau momen pertama) adalah perumuman dari purata berbobot. Secara informal, nilai harapan adalah purata aritmetika dari banyak hasil (outcome) sebuah variabel acak yang dipilih secara independen.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil, adalah purata berbobot dari semua hasil tersebut. Pada kasus ada tak hingga banyaknya hasil yang mungkin, nilai harapan didefinisikan dengan menggunakan integral. Dalam landasan aksiomatik untuk peluang yang diberikan oleh teori ukuran, nilai harapan didefinisikan dengan integral Lebesgue.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak $X$ umum dinyatakan sebagai $\mathbb {E} [X],\mathbb {E} (X),{\text{atau }}\mathbb {E} X$ dengan $\mathbb {E}$ terkadang juga ditulis dalam gaya huruf $\mathrm {E}$ atau $E$ .^[1]^[2]^[3]

Notasi

Penggunaan huruf $E$ untuk menyatakan nilai harapan (expected value) dapat dilacak ke W. A. Whitworth pada tahun 1901.^[4] Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris. Di bahasa Jerman, $E$ merujuk pada "Erwartungswert", "Esperanza matemática" dalam bahasa Spanyol, dan "Espérance mathématique" untuk bahasa Prancis.^[5]

Ketika "E" digunakan untuk menyatakan nilai harapan, para penulis banyak menggunakan variasi gaya huruf: $E$ (tegak), $E$ (miring), or $\mathbb {E}$ (tebal papan-tulis). Selain itu juga terdapat variasi tanda kurung yang digunakan: $\mathbb {E} [X],\mathbb {E} (X),{\text{dan }}\mathbb {E} X$ ).

Notasi lain yang populer adalah $μ X$ , sedangkan $⟨ X ⟩$ , $⟨ X ⟩ av$ , dan ${\overline {X}}$ banyak dijumpai dalam fisika,^[6] dan $M(X)$ dalam tulisan-tulisan berbahasa Rusia.

Definisi

Terdapat beberapa konteks dan cara untuk mendefinisikan nilai harapan. Cara termudah dan definisi asli dari nilai harapan adalah menghitung terhingga banyaknya hasil percobaan yang mungkin (seperti hasil lemparan sebuah koin). Dengan menggunakan teori barisan tak hingga, definisi itu dapat diperumum untuk kasus tak terhingga (tapi terhitung) banyaknya hasil percobaan. Nilai harapan juga didefinisikan untuk variabel-variabel acak yang diatur oleh fungsi kepadatan peluang kontinu-(sepenggal), karena jenis variabel acak tersebut banyak ditemukan secara alami. Definisi-definisi tersebut dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi umum yang didasarkan pada alat-alat dalam teori ukuran dan integral Lebesgue.

Setiap definisi dari nilai harapan dapat diperluas untuk mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak multidimensi, seperti sebuah vektor acak $X$ . Pendefinisian nilai harapan pada variabel acak jenis tersebut dilakukan komponen-demi-komponen, yakni $E[X] i = E[X i]$ . Serupa dengan itu, nilai harapan dari matriks acak $X$ dengan elemen-elemen $X ij$ didefinisikan sebagai $E[X] ij = E[X ij]$ .

Variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil

Misalkan $X$ adalah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil yang mungkin $x 1, ..., x k$ , masing-masing memiliki peluang $p 1, ..., p k$ untuk terjadi. Nilai harapan dari $X$ didefinisikan sebagai^[7]

\mathbb {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.

Karena total semua peluang $p 1 + \cdot\cdot\cdot + p k = 1$ , wajar untuk menganggap $E[X]$ sebagai purata berbobot dari nilai-nilai $x i$ , dengan bobot-bobot berupa nilai peluang $p i$ . Pada kasus khusus ketika semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi (yakni, $p 1 = \cdot\cdot\cdot = p k$ ), purata berbobot akan sama dengan rata-rata yang standar. Secara umum, nilai harapan memperhatikan fakta bahwa beberapa hasil lebih mungkin terjadi ketimbang yang lain.

Variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil

Secara informal, nilai harapan dari variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil yang mungkin, didefinisikan secara serupa sebagai purata berbobot dari dari semua hasil yang mungkin, dengan bobot-bobot didapatkan dari peluang merealisasikan setiap hasil. Menyatakan ini secara matematis,

\mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},

dengan $x 1, x 2, ...$ adalah hasil-hasil yang mungkin dari variabel acak $X$ dan $p 1, p 2, ...$ masing-masing adalalah peluang mereka. Terdapat beberapa asumsi dengan penjumlahan tak hingga, menjadikan rumus di atas tidak cocok sebagai definisi matematika. Secara khusus, teorema barisan Riemann dalam analisis matematika menunjukkan bahwa hasil penjumlahan tak hingga yang melibatkan suku positif dan suku negatif dapat berubah bergantung pada urutan penjumlahan yang dilakukan. Hal ini menyulitkan mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak jenis ini karena hasil dari variabel acak tidak memiliki urutan yang alami (karena acak).

Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebut konvergen absolut, yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan.^[8] Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakan tidak memiliki nilai harapan yang terhingga.^[8]

Referensi

^ "Expectation | Mean | Average". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-11.
^ Hansen, Bruce. "Probability and Statistics for Economists" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-01-19. Diakses tanggal 2021-07-20.
^ Wasserman, Larry (December 2010). All of Statistics: a concise course in statistical inference. Springer texts in statistics. hlm. 47. ISBN 9781441923226.
^ Whitworth, W.A. (1901) Choice and Chance with One Thousand Exercises. Fifth edition. Deighton Bell, Cambridge. [Reprinted by Hafner Publishing Co., New York, 1959.]
^ "Earliest uses of symbols in probability and statistics".
^ Feller 1968, hlm. 221.
^ Billingsley 1995, hlm. 76.
^ ^a ^b Feller 1968, Section IX.2.

Daftar pustaka

Edwards, A.W.F (2002). Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea (edisi ke-2nd). JHU Press. ISBN 0-8018-6946-3.
Huygens, Christiaan (1657). De ratiociniis in ludo aleæ (English translation, published in 1714).
Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (edisi ke-Third edition of 1979 original). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. MR 1324786.
Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical inference. Duxbury Advanced Series (edisi ke-Second edition of 1990 original). Pacific Grove, CA: Duxbury. ISBN 0-534-11958-1.
Feller, William (1968). An introduction to probability theory and its applications. Volume I (edisi ke-Third edition of 1950 original). New York–London–Sydney: John Wiley & Sons, Inc. MR 0228020.
Feller, William (1971). An introduction to probability theory and its applications. Volume II (edisi ke-Second edition of 1966 original). New York–London–Sydney: John Wiley & Sons, Inc. MR 0270403.
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions. Volume 1. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (edisi ke-Second edition of 1970 original). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-58495-9. MR 1299979.
Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Probability, random variables, and stochastic processes (edisi ke-Fourth edition of 1965 original). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-366011-6. Templat:Erratum
Ross, Sheldon M. (2019). Introduction to probability models (edisi ke-Twelfth edition of 1972 original). London: Academic Press. doi:10.1016/C2017-0-01324-1. ISBN 978-0-12-814346-9. MR 3931305.

Pranala luar

"Expected Value | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-21.

[1] "Expectation | Mean | Average". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-11.

[2] Hansen, Bruce. "Probability and Statistics for Economists" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-01-19. Diakses tanggal 2021-07-20.

[3] Wasserman, Larry (December 2010). All of Statistics: a concise course in statistical inference. Springer texts in statistics. hlm. 47. ISBN 9781441923226.

[4] Whitworth, W.A. (1901) Choice and Chance with One Thousand Exercises. Fifth edition. Deighton Bell, Cambridge. [Reprinted by Hafner Publishing Co., New York, 1959.]

[5] "Earliest uses of symbols in probability and statistics".

[FOOTNOTEFeller1968221-6] Feller 1968, hlm. 221.

[FOOTNOTEBillingsley199576-7] Billingsley 1995, hlm. 76.

[FOOTNOTEFeller1968Section_IX.2-8] Feller 1968, Section IX.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]