Penjumlahan Borel

Borel yang masih muda menemukan metode penjumlahan yang dapat menjumlahkan dengan benar sebagian besar deret divergen pada saat itu. Oleh karena penemuannya, ia memutuskan pergi ke Kota Stockholm untuk menemui Mittag-Leffler. Mittag sendiri pada saat itu dijuluki sebagai mahadewa analisis kompleks. Saat Borel menemuinya, Mittag-Leffler mempersilahkan Borel menjelaskan penemuannya. Pada waktu Borel menjelaskan, ia menjadi pendengar yang baik. Selesai mendengarkan penjelasan Borel, Mittag menaruh telapak tangannya dengan penuh keseriusan pada sebuah buku matematika karya Weierstrass, gurunya. Kemudian, ia berucap dalam bahasa Latin, 'Tuanku tidak merestui'.

Mark Kac, dikutip oleh (Reed & Simon 1978, hlm. 38)

Dalam matematika, penjumlahan Borel adalah metode penjumlahan untuk menentukan nilai deret-deret divergen. Nama penjumlahan ini diambil dari Émile Borel. Ia pertama kali memperkenalkan metode ini pada tahun 1899. Metode ini berguna dalam menjumlahkan deret divergen yang asimtot. Bahkan, metode ini merupakan cara yang paling baik dalam menjumlahkan deret-deret tersebut. Ada banyak ragam atas metode ini yang memiliki nama yang sama. Untuk perluasannya, dinamakan penjumlahan Mittag-Leffler.

Definisi

Setidaknya, ada tiga bentuk penjumlahan yang memiliki nama Borel. Ketiga metode tersebut memiliki bentuk deret tersendiri yang dapat dijumlahkan. Akan tetapi, ketiga metode tersebut tetap konsisten. Dalam artian lain, ketika metode-metode tersebut menjumlahkan deret yang sama hasilnya juga akan sama.

Untuk menyatakannya, jadikan A(z) sebagai notasi deret pangkat

$A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},$

Setelah itu, definisikan transformasi Borel dari A sebagai deret eksponensialnya

${\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.$