Bilangan irasional

Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, ${\sqrt {2}}$, dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan ${\sqrt {2}}$:

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

dan untuk bilangan e:

= 2,7182818....

Sejarah

Bilangan $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ adalah bilangan irasional.

Menurut sejarah, penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM). Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia dihukum mati oleh Pythagoras karena dianggap penganut ajaran sesat.

Abad ke-19 melihat kecepatan perkembangan dari bilangan imajiner untuk menjadikannya berdaya guna ditangan Abraham de Moivre,dan secara khusus Leonhard Euler.Penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks di abad ke-19 mendiferensiasi bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan transenden,bukti keberadaan bilangan transenden,dan menjamurnya studi-studi saintifik mengenai teori bilangan irasional yang telah lama dipikirkan sejak Euclid. Tahun 1872 menyaksikan publikasi dari teori-teori dari Karl Weierstrass(oleh muridnya,Ernst Kossak),Eduard Heine (Crelle's Journal, 74),Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind.Meray memulai pada 1869,sama dengan Heine,tetapi teorinya dikutip secara umum pada 1872. Pecahan kontinyu,yang berhubungan dekat dengan bilangan irasional,mendapat perhatian ditangan Euler,dan akhirnya,fajar abad ke-19 benar-benar dibawa menuju keagungan lewat tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange.Dirichlet juga menambahkan dalam teori umumnya,sebagaimana banyak sekali kontributor untuk aplikasi mengenai subyek ini.

Dalam doctorate in Absentia-nya di tahun 1799,A new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree,.Gauss memberikan bukti teorema fundamental Aljabar yang menyatakan bahwa setiap-tiap dari polynomial variabel tunggal bukan-konstanta dengan koefisien kompleks memiliki paling sedikit atau setidaknya satu akar kompleks.Namun banyak matematikawan termasuk Jean le Rond d'Alembert yang memberikan bukti yang salah pada awalnya,dan disertasi Gauss juga banyak mengkritik kerja d'Alembert.

Namun sekali lagi,ironisnya,dengan menggunakan standar sekarang percobaan milik Gauss tidak dapat diterima,yang menyebabkan penggunaan secara implisit teorema Kurva Jordan didalam kurva Fraktal.Bagaimanapun,dia secara berkelanjutan memberikan tiga bukti-bukti yang lain,yang terakhir pada 1849 yang dikenal sukar.Upayanya dalam meng-klarifikasi konsep mengenai bilangan kompleks memang banyak dibicarakan(lihat secara khusus polar kompleks). Gauss juga memberikan kontibusi sangat penting bagi Teori Bilangan.Didalam bukunya di tahun 1801,Disquisitiones Arithmeticae (Latin, Arithmetical Investigations),yang mana,dalam sekian banyak hal,memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk ke-kongruenan dan emnggunakannya dalam presentasi yang baik didalam aritmetika modular.

Lihat pula

• Bilangan rasional
• Bilangan riil
• Hippasus