Dalam matematika bidang aljabar elementer , teorema binomial adalah rumus penting yang memberikan ekspansi pangkat dari penjumlahan antara dua variabel. Versi paling sederhana menyatakan bahwa:
Koefisien dari teorema binomial dapat dilihat pada segitiga pascal dan ditentukan menggunakan aturan kombinasi.
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
(
1
)
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}
Untuk setiap bilangan riil atau kompleks x dan y , serta semua bilangan bulat taknegatif n . Koefisien binomial yang muncul dalam persamaan (1) dapat didefinisikan dalam bentuk fungsi faktorial n !:
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.}
Sebagai contoh, untuk 2 ≤ n ≤ 5:
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}
(
x
+
y
)
5
=
x
5
+
5
x
4
y
+
10
x
3
y
2
+
10
x
2
y
3
+
5
x
y
4
+
y
5
.
{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}
Perhatikan bahwa:
Pangkat dari
x
{\displaystyle x}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
x
0
=
1
{\displaystyle x^{0}=1}
Untuk pangkat dari
y
{\displaystyle y}
y
0
=
1
{\displaystyle y^{0}=1}
y
n
{\displaystyle y^{n}}
Untuk binomial yang menggunakan pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan tanda yang berlawanan pada suku berikutnya:
(
x
−
y
)
2
=
x
2
−
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}
(
x
−
y
)
3
=
x
3
−
3
x
2
y
+
3
x
y
2
−
y
3
{\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,}
(
x
−
y
)
4
=
x
4
−
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
−
4
x
y
3
+
y
4
{\displaystyle (x-y)^{4}=x^{4}-4x^{3}y+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4}\,}
