Fonon

Fonon dalam fisika adalah kuantisasi moda vibrasi pada kisi kristal tegar, seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukleasi dan pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, di sertai dengan penataan atom–atom atau molekul-molekul secara teratur dengan berulang sehingga sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron didalamnya.

Pendahuluan

Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan keberhasilan didalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau molekul–molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya coulomb). Kisi–kisi tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom–atom yang menyusun zat padat bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya sehingga kisi–kisi kristalpun ikut bervibrasi. Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan energi dengan panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik disebut fonon. Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat dianalogikan seperti dalam foton dalam gelombang elektromagnetik.

Persamaan gelombang elastis :

E=1/2 KA²

Persamaan gel elektromagnetik

E = hυ

Hal ini berarti bahwa fonon berkaitan dengan transisi panjang gelombang yang lebih panjang. Perambatan kisi vibrasi kristal dapat dinyatakan sebagai gelombang suara dan kecepatan perambatannya identik dengan kecepatan suara dalam zat padat. Gelombang suara merupakan gelombang transversal :

Normal modes of vibration progression through a crystal. The amplitude of the motion has been exaggerated for ease of viewing; in an actual crystal, it is typically much smaller than the lattice spacing.

λ_n= 2L/n

n = 3 → λ₃ = 2L/3 n = 2 → λ₂ = 2L/2 n = 1 → λ₁ = 2L/1=2L

Energi phonon

E=hυ E=hv_s E=hv_sn/2L

Dimana V_s = kecepatan suara dalam zat padat

Vibrasi kristal monoatomik

Terdapat dua mode vibrasi dari atom dalam kristal :

1. Vibrasi logitudinal merupakan mode vibrasi yang arah vibrasinya searah dengan arah rambatan.
2. Vibrasi transversal merupakan mode vibrasi yang arah vibrasinya tegak lurus arah rambatan

Sebuah kristal kubus sederhana monoatomik [100], [110], dan [111] yang bervibrasi mempunyai frekwensi gelombang elastis, ditinjau dari segi vektor gelombang akan merambat secara pararel dan tegak lurus terhadap arah vektor gelombang. Setiap perpindahan bidang (S) dari posisi keseimbangannya akan mempunyai vekktor gelombang dengan tiga bentuk mode: satu polarisasi longitudinal dan dua polarisasi transversal.

Terdapat dua jenis fonon dalam kisi kristal:

1. optikal
2. akustik

Respon elastis yang terjadi merupakan fungsi linear dari gaya, yang ekivalen dengan energi, sebagai fungsi kuadrat dari perpindahan diantara dua titik dalam kristal. Energi saat keseimbangan mencapai minimum. Gaya pada bidang S disebabkan oleh perpindahan bidang S + P, sehingga terdapat selisih U_{s+ p} – U_s. Interaksi antara dua tetangga terdekat P = ± 1, sehingga total gaya :

F_s = C(U_s+1-U_s)+(U_s-1–U_s )

Pernyataan diatas identik dengan Hukum Law. Harga konstanta C akan berbeda untuk gelombang longitudinal dan tranversal. Persamaan gerak untuk bidang s adalah :

M.d²U_s/dt²=C(U_s+1+U_s-1-2U_s) (4)

Persamaan gerak diatas terbentuk pada waktu exp ( -iwt )

d²U_s/dt²^{= -ω²U_s (5)}

Sehingga persamaan (4) menjadi :

-Mω²U_s = C(U_s+1+U_s-1-2U_s) (6)

Dengan asumsi gelombang merupakan gelombang berjalan

U_s_±1= U exp(i_sKa)exp(±i Ka) (7)

Dimana a = jarak antara bidang K = faktor gelombang

Subtitusi persamaan (6) dan (7) diperoleh:

-ω²MUexp(i_sKa) = Cu{exp[i(s+1)Ka]+exp[i(s-1)Ka]-2exp[isKa]} ω²M= -C[exp(iKa)+exp(-iKa)-2 (8)

Karena, 2cosKa=exp(iKa)=exp(-iKa), maka diperoleh hubungan ω dan k:

ω²=(2C/M)(1-cosKa) (9)

Batas daerah Brillouin pertama terletak pada K=±π/a, Kemiringan ω terhadap K adalah nol pada zone batas

dω²/dK=(2C/M)sinKa = 0

  	Sin ka = sin ( = 0

Melalui identitas trigonometri persamaan (9) dapat ditulis menjadi ……………(10)

Daerah brillouin pertama

Gambar 3 hubungan w terhadap k Jika w diturunkan terhadap k, akan diperoleh :

= kecepatan kelompok ……………………..(11)

Vibrasi kristal sederhana diatomik

Penyebaran fonon untuk kristal sederhana diatomik atom lebih akan memberikan arah penyebaran dengan kristal monoatomik .tiap polarisasi akan memberikan arah hubungan penyebaran w terhadap k dua cabang : akustik dan optikal. sehingga akan diperoleh LA dan TA ( longitudinal dan transversal ) Serta LO dan TO (longitudinal dan tranversal optik)

Sel sederhana dengan P atom mempunyai 3P cabang dengan 3 cabang acoustic 3P-3 cabang optikal, jumlah cabang selanjutnya disebut derajat kebebasan. Untuk kristal kubus diatomik dengan masa M₁ dan M₂ yang berbeda. Persamaan gerak dengan anggapan tiap bidang berinteraksi hanya dengan atom tetangga terdekat dan konstanta gaya sama, diperoleh :

Persamaan diatas dapat diselesaikan dalam bentuk gelombang berjalan dimana amplitudo keduanya berskala U dan V Us = u exp (is ka) exp (-iwt) Vs = v exp (is ka) exp (-iwt)

Us-1 Vs-1 Us Vs Us+1 Vs+1

Dengan substitusi persamaan 12 dengan 13 diperoleh :

……………………..(14)

Persamaan diatas diselesaikan jika koefisien determinan yang tidak diketahui u1 v direduksi 2c – m1w2 - c[1 + exp (-ika)] -c (1 + exp (ika) 2c – M2w2

Atau : M1M2w4 – 2c (M1 + M2) w2 + 2c2 (1 – cos ka) = 0 ……………(16) Jika ka << 1 dan ka = pada daerah batas Sehingga cos ka cabang optikal ……………………(17) cabang akustik ………………….(18)

Optikal node

Banyak hal dapat dijelaskan dengan fonom seperti kapasitas panas ternal, superkonduktor, sifat magnet materi