Integral kuadratik

Dalam matematika, integral kuadratik adalah integral dengan bentuk umum

$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$

dimana nilai $a\neq 0$. Integral di atas dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada bagian penyebut, yaitu sebagai berikut

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{4a^{2}x^{2}+4abx+4ac}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax\right)^{2}+(2ax)(b)+b^{2}-b^{2}+4ac}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\\end{aligned}}$

Kasus Diskriminan Positif

Diasumsikan nilai diskriminan $b^{2}-4ac>0$. Dalam kasus ini, didefinisikan variabel pembantu

• $2ax+b=t$
• $b^{2}-4ac=k^{2}$

yang mengakibatkan $2a\,dx=dt$ dan $k={\sqrt {b^{2}-4ac}}$. Dari sini, integral kuadratiknya menjadi

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {2}{t^{2}-k^{2}}}\,dt\\&=\int {\frac {2}{(t-k)(t+k)}}\,dt\end{aligned}}$

Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, perhatikan bahwa

${\frac {2}{(t-k)(t-k)}}={\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{t-k}}-{\frac {1}{t+k}}\right)$

Sehingga diperoleh

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {2}{(t-k)(t+k)}}\,dt\\&=\int {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{t-k}}-{\frac {1}{t+k}}\right)\,dt\\&={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\left(\ln \left|t-k\right|-\ln \left|t+k\right|\right)+{\text{konstanta}}\\&={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {t-k}{t+k}}\right|+{\text{konstanta}}\\&={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|+{\text{konstanta}}\end{aligned}}$

Kasus Diskriminan Nol

Pada kasus ini, informasi nilai $b^{2}-4ac=0$ akan mempermudah pengerjaan integral kuadratiknya, karena

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}$

Dengan menggunakan substitusi $t=2ax+b$ (yang berarti $dt=2a\,dx$), maka

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}}}\,dx\\&=\int {\frac {2}{t^{2}}}\,dt\\&=-{\frac {2}{t}}+{\text{konstanta}}\\&=-{\frac {2}{2ax+b}}+{\text{konstanta}}\end{aligned}}$

Kasus Diskriminan Negatif

Dikarenakan nilai diskriminan $b^{2}-4ac<0$, maka suku kedua pada bagian penyebut dari

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}+\left(4ac-b^{2}\right)}}\,dx\end{aligned}}$

bernilai positif, sehingga akan digunakan substitusi

• $2ax+b={\sqrt {4ac-b^{2}}}\tan t$
• $2a\,dx={\sqrt {4ac-b^{2}}}\sec ^{2}t\,dt$
• $\tan ^{2}t+1=\sec ^{2}t$ (lihat identitas Pythagoras)

Akibatnya,

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}&=\int {\frac {4a}{\left(2ax+b\right)^{2}+\left(4ac-b^{2}\right)}}\,dx\\&=\int {\frac {2}{\left({\sqrt {4ac-b^{2}}}\tan t\right)^{2}+\left(4ac-b^{2}\right)}}\cdot {\sqrt {4ac-b^{2}}}\sec ^{2}t\,dt\\&=\int {\frac {2}{\left(4ac-b^{2}\right)\left(\tan ^{2}t+1\right)}}\cdot {\sqrt {4ac-b^{2}}}\sec ^{2}t\,dt\\&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\int {\dfrac {\sec ^{2}t}{\sec ^{2}t}}\,dt\\&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}t+{\text{konstanta}}\\&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan \left({\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+{\text{konstanta}}.\end{aligned}}$

Referensi

• Weisstein, Eric W. "Quadratic Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, wherein the following is referenced:
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo, ed. Table of Integrals, Series, and Products (dalam bahasa English). Diterjemahkan oleh Scripta Technica, Inc. (edisi ke-8). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)