Persamaan diferensial homogen

Persamaan diferensial homogen dapat memiliki dua artian.

Persamaan diferensial orde pertama yang homogen

sunting

Persamaan diferensial biasa orde pertama dalam bentuk:

 

dapat dianggap homogen jika fungsi M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen dengan tingkat yang sama, n.[1] Dalam kata lain, jika setiap variabel dikalikan dengan parameter   , dapat diperoleh

      and      

sehingga:

 

Solusi

sunting

Dalam hasil bagi    , jika diasumsikan       untuk menyederhanakan hasil bagi ini menjadi fungsi   dengan satu variabel  :

 

Kemudian dilakukan perubahan variabel  ; lalu diturunkan dengan aturan produk:

 

sehingga mengubah persamaan diferensial ini menjadi bentuk yang dapat dipisahkan

 

Persamaan ini kini dapat diintegralkan secara langsung.

Kasus khusus

sunting

Persamaan diferensial tingkat persama dalam bentuk berikut: (a, b, c, e, f, g semuanya konstanta)

 

dengan afbe dapat diubah menjadi persamaan homogen lewat transformasi linear kedua variabel (  dan   adalah konstanta):

 

Persamaan diferensial linear homogen

sunting

Persamaan diferensial linear dapat dikatakan homogen jika memenuhi kondisi berikut:

 

L adalah operator diferensial dan y adalah fungsi yang tidak diketahui.

Contoh

sunting

  adalah persamaan diferensial linear homogen orde kedua.

  adalah persamaan diferensial linear homogen orde pertama

Referensi

sunting
  1. ^ Ince 1956, hlm. 18
  • Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (edisi ke-10th), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (This is a good introductory reference on differential equations.)
  • Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)