1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Dalam matematika, deret tak hingga 12 + 14 + 18 + 116 + · · · adalah contoh dasar dari deret geometri yang mutlak konvergen. Hasil penjumlahan tersebut bernilai 1. Deret ini dapat dinyatakan ke dalam bentuk notasi Sigma, yakni sebagai: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1.$ Deret ini mempunyai kaitan dengan pertanyaan filosofis pada zaman kuno, khususnya paradoks Zeno.

Bukti

Seperti semua deret tak hingga, jumlah dari

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots

didefinisikan sebagai limit dari jumlah parsial dari suku $n$ yang pertama

s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}

ketika $n$ menuju ke tak hingga. Dengan menggunakan berbagai argumen,^[a] jumlah deret terhingga akan sama dengan

s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.

Ketika $n$ menuju ke tak hingga, bentuk ekspresi ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ menuju ke 0, dan demikian $s n$ menuju ke 1.

Sejarah

Deret ini digunakan sebagai salah satu representasi dari paradoks Zeno.^[1] Bagian dari Mata Horus pernah dianggap untuk merepresentasikan enam penjumlahan pertama dari deret ini.^[2]

Lihat pula

Catatan

^ Sebagai contoh, dengan mengalikan $s n$ oleh 2, akan menghasilkan $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Ketika mengurangi $s n$ dari kedua ruas, maka dapat disimpulkan bahwa ${\textstyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}$ Ada beberapa argumen yang menggunakan induksi matematika, atau menambahkan ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ pada kedua ruas dari persamaan $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ hingga memanipulasi agar memperlihatkan bahwa hasil jumlah pada ruas kanan sama dengan 1.^{[butuh rujukan]}

Referensi

^ Wachsmuth, Bet G. "Description of Zeno's paradoxes". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-12-31. Diakses tanggal 2014-12-29.
^ Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. hlm. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6.

[1] Sebagai contoh, dengan mengalikan $s n$ oleh 2, akan menghasilkan $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Ketika mengurangi $s n$ dari kedua ruas, maka dapat disimpulkan bahwa ${\textstyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}$ Ada beberapa argumen yang menggunakan induksi matematika, atau menambahkan ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ pada kedua ruas dari persamaan $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ hingga memanipulasi agar memperlihatkan bahwa hasil jumlah pada ruas kanan sama dengan 1.^{[butuh rujukan]}

[2] Wachsmuth, Bet G. "Description of Zeno's paradoxes". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-12-31. Diakses tanggal 2014-12-29.

[3] Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. hlm. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6.

[a]

[1]

[2]