Struktur (logika matematika)

Dalam aljabar universal dan dalam teori model, struktur terdiri dari himpunan bersama dengan kumpulan operasi finiter dan relasi yang ditentukan di atasnya.

Struktur studi aljabar universal yang menggeneralisasi struktur aljabar seperti grup, gelanggang, bidang dan ruang vektor. Istilah aljabar universal digunakan untuk struktur tanpa simbol relasi.^[1]

Teori model memiliki cakupan berbeda yang mencakup teori yang lebih sewenang-wenang, termasuk struktur dasar seperti model teori himpunan. Dari sudut pandang model-teori, struktur adalah objek yang digunakan untuk mendefinisikan semantik logika urutan pertama. Untuk teori tertentu dalam teori model, struktur disebut model 'jika memenuhi aksioma yang menentukan teori itu, meskipun kadang-kadang disamarkan sebagai model semantik ketika seseorang membahas gagasan dalam pengaturan yang lebih umum dari model matematika. Ahli logika terkadang menyebut struktur sebagai interpretasi.^[2]

Dalam teori database, struktur tanpa fungsi dipelajari sebagai model database relasional, dalam bentuk model relasional.

Definisi

Secara formal, struktur dapat didefinisikan sebagai rangkap tiga ${\mathcal {A}}=(A,\sigma ,I)$ terdiri dari domain A , tanda tangan σ, dan 'fungsi interpretasi' I yang menunjukkan bagaimana tanda tangannya untuk diinterpretasikan di domain. Untuk menunjukkan bahwa suatu struktur memiliki tanda tangan tertentu σ dapat disebut sebagai struktur σ.

Domain

domain dari sebuah struktur adalah himpunan arbitrer; itu juga disebut himpunan yang mendasari struktur, pembawa (terutama dalam aljabar universal), atau universal (khususnya dalam teori model). Dalam logika orde pertama klasik, definisi struktur melarang domain kosong.^[3]

Terkadang notasi $\operatorname {dom} ({\mathcal {A}})$ atau $|{\mathcal {A}}|$ digunakan untuk domain ${\mathcal {A}}$ , tetapi sering kali tidak ada perbedaan notasi yang dibuat antara struktur dan domainnya. (Yaitu simbol yang sama ${\mathcal {A}}$ mengacu pada struktur dan domainnya.)^[4]

Tanda tangan

The signature $\sigma =(S,\operatorname {ar} )$ sebuah struktur terdiri dari satu set $S$ dari simbol fungsi dan simbol relasi bersama dengan sebuah fungsi ${\text{ar:}}\ S\to \mathbb {N} _{0}$ yang dianggap berasal dari setiap simbol 'a bilangan asli $n=\operatorname {ar} (s)$ yang disebut ariti dari s karena ini adalah ariti dari interpretasi s .

Karena tanda tangan yang muncul di aljabar sering kali hanya berisi simbol fungsi, tanda tangan tanpa simbol relasi disebut tanda tangan aljabar. Struktur dengan tanda tangan seperti itu juga disebut 'aljabar' ; ini tidak boleh disamakan dengan gagasan tentang aljabar di atas bidang.

Fungsi interpretasi

Fungsi interpretasi I dari ${\mathcal {A}}$ memberikan fungsi dan hubungan ke simbol tanda tangan. Setiap simbol fungsi f dari arity n diberi fungsi arity $f^{\mathcal {A}}=I(f)$ di domain. Setiap simbol relasi R arity n diberi relasi n-ary $R^{\mathcal {A}}=I(R)\subseteq A^{\operatorname {ar(R)} }$ di domain. Simbol fungsi nol c disebut simbol konstan, karena interpretasinya I(c) dapat diidentifikasi dengan elemen domain konstan.

Ketika sebuah struktur (dan karenanya fungsi interpretasi) diberikan oleh konteks, tidak ada perbedaan notasi yang dibuat antara simbol s dan interpretasinya I(s) . Misalnya, jika f adalah simbol fungsi biner dari ${\mathcal {A}}$ , satu hanya menulis $f:{\mathcal {A}}^{2}\rightarrow {\mathcal {A}}$ rather than $f^{\mathcal {A}}:|{\mathcal {A}}|^{2}\rightarrow |{\mathcal {A}}|$ .

Catatan

^ Beberapa penulis merujuk pada struktur sebagai "aljabar" ketika menggeneralisasi aljabar universal untuk memungkinkan relasi serta fungsi.
^ Hodges, Wilfrid (2009). "Functional Modelling and Mathematical Models". Dalam Meijers, Anthonie. Philosophy of technology and engineering sciences. Handbook of the Philosophy of Science. 9. Elsevier. ISBN 978-0-444-51667-1.
^ Ini mirip dengan definisi dari sebuah bilangan prima di dasar teori bilangan, yang telah dipilih dengan cermat sehingga tak tersederhanakan bilangan 1 tidak dianggap prima. Konvensi bahwa domain suatu struktur tidak boleh kosong sangat penting dalam logika, karena beberapa aturan inferensi umum, terutama, Instansiasi universal, tidak bersuara jika struktur kosong diizinkan. Sistem logika yang memungkinkan domain kosong dikenal sebagai logika inklusif.
^ Sebagai konsekuensi dari konvensi ini, notasi $|{\mathcal {A}}|$ juga dapat digunakan untuk merujuk ke kardinalitas dari domain ${\mathcal {A}}$ . Dalam praktiknya, hal ini tidak pernah menimbulkan kebingungan.

Referensi

Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 3-540-90578-2. Free online edition.
Hodges, Wilfrid (1997). A Shorter Model Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.

Pranala luar

Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Model theory"—by Wilfred Hodges.
PlanetMath: Entry "Signature" describes the concept for the case when no sorts are introduced.
Baillie, Jean Diarsipkan 2004-09-03 di Wayback Machine., "An Introduction to the Algebraic Specification of Abstract Data Types. Diarsipkan 2004-09-03 di Wayback Machine."

[1] Beberapa penulis merujuk pada struktur sebagai "aljabar" ketika menggeneralisasi aljabar universal untuk memungkinkan relasi serta fungsi.

[2] Hodges, Wilfrid (2009). "Functional Modelling and Mathematical Models". Dalam Meijers, Anthonie. Philosophy of technology and engineering sciences. Handbook of the Philosophy of Science. 9. Elsevier. ISBN 978-0-444-51667-1.

[3] Ini mirip dengan definisi dari sebuah bilangan prima di dasar teori bilangan, yang telah dipilih dengan cermat sehingga tak tersederhanakan bilangan 1 tidak dianggap prima. Konvensi bahwa domain suatu struktur tidak boleh kosong sangat penting dalam logika, karena beberapa aturan inferensi umum, terutama, Instansiasi universal, tidak bersuara jika struktur kosong diizinkan. Sistem logika yang memungkinkan domain kosong dikenal sebagai logika inklusif.

[4] Sebagai konsekuensi dari konvensi ini, notasi $|{\mathcal {A}}|$ juga dapat digunakan untuk merujuk ke kardinalitas dari domain ${\mathcal {A}}$ . Dalam praktiknya, hal ini tidak pernah menimbulkan kebingungan.

[1]

[2]

[3]

[4]