Transpos konjugat

matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dan mengambil konjugat kompleks setiap elemennya

Dalam matematika, transpos konjugat (bahasa Inggris: conjugate transpose) atau transpose Hermite (bahasa Inggris: Hermitian transpose) dari suatu matriks dengan entri-entri kompleks adalah matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dari lalu mengambil konjugat kompleks dari setiap entrinya (konjugat kompleks dari adalah , untuk sembarang bilangan real dan ). Nama lain dari transpos konjugat dari suatu matriks adalah konjugat Hermite, matriks adjoin, dan transjugat (transjugate). Matriks hasil operasi ini umum dinyatakan sebagai atau .[1][2]

Untuk matriks real, transpos konjugat akan sama dengan operasi transpos biasa, .

Definisi

sunting

Transpos konjugat dari suatu matriks   berukuran   secara formal didefinisikan sebagai

 

dengan indeks   menyatakan entri ke-  dari matriks, untuk   dan  , dan overbar menyatakan konjugat kompleks pada skalar. Definisi tersebut juga dapat ditulis sebagai[2]

 

dengan   menyatakan transpos, dan   menyatakan matriks dengan entri-entri yang dikonjugasi kompleks. Transpos konjugat dari matriks   dapat dinyatakan oleh beberapa simbol berikut:

  •  ,[2] dan  , yang umum digunakan dalam aljabar linear,
  •  , umum digunakan dalam fisika kuantum, dan
  •  , walau simbol ini lebih sering digunakan untuk invers Moore–Penrose

Dalam beberapa konteks,   menyatakan matriks dengan yang entrinya hanya dikonjugasi kompleks dan tidak mengalami transpos matriks

Contoh

sunting

Misalkan kita ingin menghitung transpos konjugat dari matriks   berikut:

 

Pertama kita melakukan transpos pada matriks,

 

lalu kita mencari konjugat kompleks dari setiap entri pada matriks:

 

Motivasi

sunting

Transpos konjugat dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai matriks real berukuran 2×2, yang juga memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian matriks: Dengan demikian, perkalian bilangan kompleks   di  dapat dianggap sebagai transformasi linear pada diagram Argand (dilihat sebagai ruang vektor real  ) oleh matriks real berukuran 2×2. Lebih lanjut, konjugat kompleks dari   dapat dilakukan dengan melakukan transpos pada representasi matriks berukuran 2×2-nya.

Hal ini mengartikan matriks berentri kompleks berukuran   juga dapat direpresentasikan dengan baik oleh matriks berentri real berukuran  . Transpos konjugat muncul secara alami sebagai akibat mentranspos matriks real ini — yang dapat dilihat kembali sebagai matriks kompleks berukuran  .

Sifat-sifat

sunting
  •   untuk sembarang matriks   dan   yang memiliki ukuran yang sama.
  •   untuk sembarang bilangan kompleks   dan sembarang matriks   berukuran  .
  •   untuk sembarang matriks   berukuran   dan sembarang matriks   berukuran  . Ingat bahwa urutan dari faktor dibalik.[1]
  •   funtuk sembarang matriks   berukuran  , dengan kata lain, transpos konjugat adalah suatu involusi.
  • Jika   adalah matriks persegi, maka   dengan   menyatakan determinan dari   .
  • Jika   adalah matriks persegi, maka   dengan   menyatakan trace dari  .
  •   terbalikkan jika dan hanya jika   juga terbalikkan, dan dalam kasus tersebut,  .
  • Nilai-nilai eigen dari   adalah konjugat kompleks dari nilai-nilai eigen dari  .
  •   untuk sembarang matriks   berukuran  , sembarang vektor  , dan sembarang vektor  . Dalam persamaan ini,   menyatakan hasil kali dalam kompleks pada  , dan serupa untuk notasi  .

Beberapa jenis matriks persegi juga dapat didefinisikan lewat transpos konjugatnya. Suatu matriks persegi   dengan entri-entri   disebut

  • Hermite, jika  ; yakni ketika  .
  • Skew Hermitian atau antihermitian jika  ; yakni,  .
  • Normal jika  .
  • Uniter jika  , atau secara ekuivalen  , atau secara ekuilvalen  .

Bahkan jika   bukan matriks persegi, kedua matriks   dan   merupakan matriks Hermite, lebih tepatnya matriks semidefinit positif.

Referensi

sunting
  1. ^ a b Weisstein, Eric W. "Conjugate Transpose". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08. 
  2. ^ a b c "conjugate transpose". planetmath.org. Diakses tanggal 2020-09-08. 

Pranala luar

sunting