Kurva indiferensi

Kurva indiferensi dalam mikroekonomi adalah kurva yang menggambarkan hubungan antara dua bundel barang di mana konsumen mendapatkan kepuasan yang sama (indiferen) pada tiap-tiap titik kombinasi kuantitas (Q) kedua bundel tersebut.

Sejarah

Teori kurva indeferensi dikembangkan oleh Francis Ysidro Edgeworth, Vilfredo Pareto, dan kawan-kawan di awal abad ke-20. Teori ini diturunkan dari teori utilitas ordinal, yang mengasumsikan bahwa setiap orang selalu dapat mengurutkan preferensinya. Dengan kata lain, seseorang selalu dapat menentukan bahwa ia lebih menyukai barang A dibanding barang B, dan lebih suka barang B dibanding barang C, lebih suka barang C daripada barang D dan seterusnya.

Peta dan ciri dari kurva indiferensi

Sebuah grafik dari kurva indiferensi untuk seorang konsumen dihubungkan dengan tingkat utilitas/kepuasan berbeda disebut dengan peta indiferensi. Titik kembalinya tingkat kepuasan yang berbeda setiap unitnya dihubungkan dengan kurva indiferensi yang berbeda satu sama lain. Sebuah kurva indiferensi menjabarkan sebuah himpunan preferensi pribadi dan bisa berbeda pada orang satu dan lainnya.

Kurva indiferensi biasanya dijelaskan menjadi :

1. Dijabarkan hanya pada kuadran positif (+, +) diagram Cartesius dari komoditas berdasarkan kuantitas.
2. Melengkung secara negatif. Sebagai Kuantitas yang dikonsumsi dari satu barang (x) meningkat, kepuasan total akan naik jika tidak di kompensasikan oleh sebuah penurunan dalam kuantitas yang dikonsumsi pada barang lain (y). Sama dengan kekenyangan, di mana lebih dari barang (atau keduanya) sama derajatnya di preferensikan untuk tidak ditingkatkan, tidak diikutsertakan. (jika utilitas U=f(x, y), U, dalam dimensi ke tiga, tidak memiliki sebuah maksimum lokal untuk semua x dan y.)
3. lengkap, seperti semua titik dalam kurva indiferen dirangking sama besar dalam hal selera dan dirangking baik lebih atau kurang di sukai dibandingkan titik lainnya yang tidak ada dalam kurva. Jadi, dengan (2), tidak ada dua kurva yang akan bersilangan (selain non-satiasi akan dilanggar).
4. Transitif dengan hubungan ke titik dalam kurva indiferen yang berbeda. Itu terjadi, jika tiap titik dalam I₂ adalah selera (yang terbatas) pada tiap titik dalam I₁, dan tiap titik dalam I₃ dihubungkan ke tiap titik dalam I₂, tiap titik dalam I₃ dihubungkan ke tiap titik dalam I₁. Sebuah lengkungan negatif dan transitifitas tidak dimasukan persilangan kurva indiferen, karena garis lurus dari kedua sisi tersebut bersilangan akan memberi rangking preferensi yang tidak satu sisi dan intransitif.
5. (secara terbatas) convex (dijatuhkan dari bawah). Dengan (2), preferensi convex menyebabkan sebuah pemunculan dari asal kurva indiferen. Sebagai konsumen menurunkan konsumsi dari satu barang dalam unit suksesif, jumlah besar dari barang lainnya akan dibutuhkan untuk mempertahankan kepuasan tidak berubah, efek substitusi.

Asumsi

Ambil a, b dan c menjadi kumpulan (vektor) dari barang, seperti kombinasi (x, y) di atas, di mana kemungkinan adanya perbedaan jumlah dari tiap barang dalam kumpulan yang berbeda. Asumsi pertama adalah kebutuhan untuk sebuah representasi yang dibuat dengan baik dari selera stabil untuk para konsumen sebagai agen ekonomi, asumsi kedua disesuaikan.

Rasionalitas (dalam hubungannya dalam konteks matematik yang umum): Keterselesaian + transtifitas. Untuk rangking pemberian preferensi, konsumen bisa memilih kumpulan yang terbaik antara a, b dan c dari terbawah ke tertinggi.

Kontinuitas: Ini berarti kamu bisa memilih untuk mengonsumsi berapapun jumlah barang. Contohnya, saya bisa minum 11 mL soda, atau 12mL, atau 132 mL. Saya tidak dipaksa untuk meminum dua liter atau tidak sama sekali. Lihat juga fungsi kontinuitas dalam matematik.

Dari ciri yang tersisa di atas, seharusnya, ciri (5) (kofeksitas) telah dilanggar oleh munculnya kurva indiferen keluar dari asal konsumen tertentu dengan memberikan dorongan ke anggaran. Teori konsumen kemudian menyebabkan konsumsi kosong untuk satu dari dua barang, katakanlah barang Y, dalam ekuilibirium ke anggaran konsumen. Ini akan mencontohkan sebuah solusi pojok. Lebih jauh, penurunan dalam harga barang Y di atas jarak tertentu mungkin akan meninggalkan jumlah/kuantitas yang diminta tidak akan berubah dari kosong (0) dan sesudahnya di mana penurunan harga selanjutnya mengganti semua pendapatan dan konsumsi jauh-jauh dari X dan Y. Rasio dari implikasi tersebut mensugestikan kenapa konfeksitas biasanya diasumsikan juga.

Aplikasi

• Teori konsumen menggunakan kurva indiferensi dan penghematan anggaran untuk menghasilkan kurva permintaan konsumen.

Contoh dari Kurva Indiferensi

Dalam Gambar 1, konsumen akan lebih ke I₃ daripada ke I₂, dan akan lebih ke I₂ daripada I₁, tetapi tidak peduli di mana sang konsumen berada dalam kurva indiferen yang diwakilkan. Lekukan dari sebuah kurva indiferen (dalam nilai mutlak), dikenal oleh para ekonom sebagai rasio marjinal dari subtitusi, menunjukkan rasio di mana konsumen ingin memberi satu barang untuk ditukar lebih dengan barang yang lain. Untuk kebanyakan barang rata-rata marjinal dari subtitusi tidak tetap sehingga kurva indiferen mereka melekuk dengan tajam. Kurva tersebut merupakan konfeks dari aslinya, menjelaskan efek negatif subtitusi. Selaras dengan kenaikan harga untuk pendapatan tetap, konsumen mencari barang subtitusi yang lebih murah pada kurva indifeen yang lebih rendah. Efek subtitusi diperkuat dengan efek pendapatan atau pendapatan nyata yang lebih rendah (Beattie-LaFrance). Sebuah contoh dari sebuah fungsi utilitas yang membuat kurva indiferen dari jenis ini adalah fungsi Coubb-Douglas

$U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1$.

Jika barang merupakan subtitusi sempurna maka kurva indiferen akan menjadi garis yang paralel karena konsumen akan meninginkan pertukaran pada sebuah rasio tetap. Rata-rata marjinal dari subtitusi selalu konstan. Contohnya yang diambil dari fungsi utilitas dihubungkan dengan kurva indiferen seperti ini akan menjadi

$U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y$.

Jika barang merupakan komplementer sempurna maka kurva indiferensi akan menjadi berbentuk L. Contohnya seperti jika kamu mempunyai sebuah resep kue yang terdiri dari 3 cangkir tepung dan 1 cangkir gula. Tidak peduli berapapun tepung ekstra yang dipunya, tidak akan bisa membuat kue lebih banyak lagi karena tidak adanya kelebihan gula. Contoh lain dari komplementer sempurna adalah sepatu kiri dan sepatu kanan. Konsumen tidak menjadi lebih untung jika mempunyai banyak sepatu kanan jika hanya mempunyai sepatu kiri satu buah. Sepatu kanan tambahan memiliki utilitas marjinal kosong (0) tanpa adanya sepatu kiri yang sejumlah. Rata-rata marjinal dari subtitusi bisa kosong atau tak terbatas. Contoh dari tipe fungsi utilitas yang memiliki peta indiferensi seperti yang di atas adalah .

$U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}$.

Bentuk berbeda dari kurva menyebabkan respon yang berbeda kepada perubahan harga seperti yang ditunjukkan oleh analisa permintaan dalam teori konsumen. Hasilnya akan diterangkan disini. Sebuah garis harga dan anggaran ynang berubah yang membuat seorang konsumen dalam ekuilibrium dalam kurva indiferensi yang sama:

Dalam Gambar 1 akan mengurangi jumlah yang diminta dari sebuah barang dengan halus sebagai harga yang naik secara relatif untuk barang tersebut.

Dalam Gambar 2 akan tidak memberi efek dalam permintaan kuantitas dari kedua barang atau mengubah kuantitas yang diminta dari satu anggaran ke yang lain.

Dalam Gambar 3 tidak akan memberi efek pada ekuilibrium permintaan jumlah, karena garis anggaran akan berputar disekitar sudut dari kurva indiferensi.

Relasi Preferensi dan Utilitas

Teori pilihan resminya mewakilkan konsumen dengan sebuah relasi preferensi, dan menggunakan penggambaran ini untuk mendapatkan kurva indiferensi.

Ide tentang sebuah kurva indiferensi merupakan penggambaran jelas: Jika seorang konsumen mendapatkan kepuasan yang sama dengan 1 apel dan 4 pisang, 2 apel dan 2 pisang, atau 5 apel dan 1 pisang, kombinasi ini akan berada dalam kurva indiferensi yang sama.

Relasi Preferensi

Masukkan

$A\;$ = sebuah set dari alternatif yang eksklusif secara mutual di antara lainnya di mana konsumen bisa memilih

$a\;$ dan $b\;$ = elemen umum dari $A\;$.

Dalam bahasa dari contoh di atas, syarat $A\;$ dibuat dari kombinasi dari apel dan pisang. Simbol $a\;$ merupakan kombinasi, seperti 1 apel dan 4 pisang dan $b\;$ merupakan kombinasi lain seperti 2 apel dan 2 pisang.

Sebuah relasi preferensi, denotasi $\succeq$, adalah sebuah relasi biner didefinisi dalam set $A\;$.

Pernyataan

$a\succeq b\;$

Dijelaskan sebagai '$a\;$ dipreferensikan tidak terlalu kuat ke $b\;$. Maka, $a\;$ setidaknya sama baik dengan $b\;$ (dalam kepuasan preferensi)

Pernyataan

$a\sim b\;$

Dijelaskan sebagai'$a\;$ direferensikan ke $b\;$, dan $b\;$ direferensikan secara lemah ke $a\;$. Maka, satu merupakan indiferen ke pilihan dari $a\;$ atau $b\;$, tidak berarti mereka tidak diinginkan tetapi mereka sama baik dalam preferensi kepuasan.

Pernyataan

$a\succ b\;$

Dijelaskan sebagai '$a\;$ dipreferensikan secara lemah ke $b\;$, tetapi $b\;$ tidak dipreferensikan secara lemah ke $a\;$. Dikatakan bahwa $a\;$ dipreferensikan secara terbatas ke $b\;$.

Relasi preferensi $\succeq$ adalah komplit jika semua pasangan $a,b\;$ bisa diberi peringkat. Relasitersebut merupakan relasi transitif jika kapanpun $a\succeq b\;$ dan $b\succeq c,\;$ lalu $a\succeq c\;$.

masukan sebuah elemen tertentu dari pasangan $A\;$, seperti $a_{0}\;$. Seharusnya salah satu membangun daftar dari elemen lain dari $A\;$ yang merupakan indiferen, di mata konsumen, ke $a_{0}\;$. Denotasikan elemen pertama dalam daftar ini dengan $a_{1}\;$, yang kedua dengan $a_{2}\;$ dan seterusnya. Set $\{a_{i}:i\geq 0\}$ membentuk sebuah kurva indiferensi karena $a_{i}\sim a_{j}\;$ untuk semua $i,j\geq 0\;$.

Hubungan Formal ke Teori Utilitas

Dalam contoh di atas, sebuah elemen $a\;$ dari set $A\;$ dibuat dari dua angka: angka dari apel, sebut saja $x,\;$ dan angka dari pisang, sebut $y.\;$

Dalam teori utilitas, fungsi utilitas dari agen adalah fungsi yang memberi peringkat semua pasangan dari bundel konsumsi dengan urutan preferensi (kelengkapan) maka adanya set tiga atau lebih bundel membentuk sebuah relasi transitif. Ini berarti untuk setiap bundel $\left(x,y\right)$ ada sebuah relasi unik, $U\left(x,y\right)$, menujukkan utilitas (kepuasan) relasinya yang diasosiasikan dengan $\left(x,y\right)$.

Relasi $\left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)$ disebut dengan fungsi utilitas. Jarak dari fungsi tersebut merupakan sebuah set dari bilangan real. Nilai sebenarnya dari fungsi tersebut tidak penting. Hanya peringkat dari nilai-nilai tersebut memiliki isi untuk teori tersebut. Lebih tepatnya, jika $U(x,y)\geq U(x',y')$ lalu bundel $\left(x,y\right)$ dijelaskan sebagai setidaknya sama baik dengan bundel $\left(x',y'\right)$. Jika $U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)$, bundel $\left(x,y\right)$ dijelaskan secara terbatas dipreferensikan ke bundel $\left(x',y'\right)$.

Masukan sebuah bundel tertentu $\left(x_{0},y_{0}\right)$ dan ambil derifatif total dari $U\left(x,y\right)$ mengenai titik ini:

$dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy$ atau, tanpa kehilangan generalitas,

${\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}$ (Eq. 1)

Di mana $U_{1}\left(x,y\right)$ merupakan derifatif parsial dari $U\left(x,y\right)$ dengan mengurut ke argumen pertama, dievaluasikan pada $\left(x,y\right)$. (Seperti untuk $U_{2}\left(x,y\right).$ )

Kurva indiferensi melalui $\left(x_{0},y_{0}\right)$ harus mengirim pada tiap bundel dalam kurva dalam tingkat utilitas yang sama dengan bundel $\left(x_{0},y_{0}\right)$. Dengan kata lain, jika salah satu akan mengganti jumlah $x\,$ dengan $dx\,$, satu tersebut harus mengubah kuantitas dari $y\,$ dengan jumlah $dy\,$ seperti itu, akhirnya, tidak ada perubahan pada U:

${\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0$, atau, mengganti 0 menjadi (Eq. 1) di atas untuk memecahkan dy/dx:

${\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}$.

Maka, rasio dari utilitas marjinal memberi nilai absolut dari lekukan kurva indiferens pada titik $\left(x_{0},y_{0}\right)$. Rasio ini disebut dengan rasio marjinal dari subtitusi antara $x\,$ dan $y\,$.

Contoh

Utilitas Linier

Jika fungsi utilitas merupakan bentuk dari $U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y$ maka utilitas marjinal dari $x\,$ adalah $U_{1}\left(x,y\right)=\alpha$ dan utilitas marjinal dari $y\,$ adalah $U_{2}\left(x,y\right)=\beta$. Lekukan dari kurva indiferens adalah, selanjutnya,

${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {\beta }{\alpha }}.$

Melihat di mana lekukan tersebut tidak bergantung pada $x\,$ atau $y\,$: Kurva indiferens merupakan garis lurus.

Utilitas Cobb-Douglas

Jika fungsi utilitas merupakan bentuk dari $U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha }$ utilitas marjinal dari $x\,$ adalah $U_{1}\left(x,y\right)=\alpha \left(x/y\right)^{\alpha -1}$ dan utilitas marjinal dari $y\,$ adalah $U_{2}\left(x,y\right)=(1-\alpha )\left(x/y\right)^{\alpha }$. Rasio marjinal dari subtitusi, dan kemudian lekukannya dari kurva indiferens ialah

${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right).$

Utilitas CES

Sebuah CES (Constant Elasticity of Subtitusion) dalam bentuk umum ialah

$U(x,y)=\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho }$

di mana $\alpha \in (0,1)$ dan $\rho \leq 1$. (Cobb-Douglas merupakan kasus spesial dari utilitas CES, dengan $\rho =0\,$.) Utilitas marjinal diberi oleh

$U_{1}(x,y)=\alpha \left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}x^{\rho -1}$

dan

$U_{2}(x,y)=(1-\alpha )\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}y^{\rho -1}.$

Lalu, bersama kuva indiferens,

${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right)^{1-\rho }.$

Contoh ini mungkin berguna sebagai model ekonomi dalam konteks inidivual atau permintaan agregat.

Utilitas Non Linear

Misal model Utilits sebagai berikut :

$U=AXi^{b}i$

di mana i = 1, 2, ... n Xi=Jenis barang ke i yang ingin dibeli konsumen bi=koefisien regresi A=Anggaran yang dimiliki konsumen maka banyaknya Xi optimal yang dapat dibeli konsumen adalah :

Xi=(Abi)/(Pxi.Σbi)

di mana Pxi=harga barang ke i yang dibeli konsumen Σbi = b1 + b2 + .... + bn syarat tidak ada nilai bi yang negatif

Referensi

• Bruce R. Beattie and Jeffrey T. LaFrance, “The Law of Demand versus Diminishing Marginal Utility” (2006). Review of Agricultural Economics. 28 (2), pp. 263–271.
• Volker Böhm and Hans Haller (1987). "demand theory," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 1, pp. 785–92.
• John Geanakoplis (1987). "Arrow-Debreu model of general equilibrium," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 1, pp. 116–24.