Ukuran (matematika)

Dalam matematika, konsep ukuran umumnya merujuk pada pengertian seperti "panjang", "luas" dan "volume".

.

Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Selain itu ukuran juga penting dalam teori peluang.

Definisi

Misalkan $(X,\Sigma )$ ruang terukur, yaitu $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ sebuah aljabar σ pada $X$. Fungusi $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ sebuat ukuran, jika memenuhi sifat-sifat:

1. $\mu (A)\geq 0$ untuk semua $A\in \Sigma$.
2. $\mu (\emptyset )=0$.
3. $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$ untuk semua $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma$ yang saling asil ( yaitu $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ untuk semua $i\neq j$).

Contoh

Ukuran Lebesgue

Ukuran Lebesgue di $\mathbb {R}$ suatu perumuman dari panjang. Panjang interval $I=[a,b],[a,b),(a,b]$ atau $(a,b)$ didefinisikan $|I|=b-a$. Sekarang misalkan $A\subseteq \mathbb {R}$ suatu himpunan bagian. Keluarga interval $(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ dikatakan meliputi $A$ apabila $A\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }I_{i}$. Ukuran luar $A$ didefinisikan sebagai

$m^{\ast }(A)=\inf \left\{\sum _{i\in \mathbb {N} }|I_{i}|:(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\mbox{ meliputi }}A\right\}.$

Tepatnya, $m^{\ast }$ yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian dari $\mathbb {R}$ bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan $A\subseteq \mathbb {R}$ dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat himpunan tertutup $F\subseteq A$ dan himpunan terbuka $G\supseteq A$ sedemikian sehingga $m^{\ast }(G\setminus F)<\varepsilon$. Sekarang misalkan $\Sigma$ adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya, $\Sigma$ aljabar sigma dan fungsi $m^{\ast }$ yang dibatasi pada $\Sigma$ ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di $\mathbb {R}$) dan dilambangkan dengan $m$.

Ukuran penghitungan

Misalnya $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ himpunan kunasa, yakni $\Sigma$ keluarga semua himpunan bagian dari $X$. Jelas, $\Sigma$ aljabar sigma. Untuk $A\in \Sigma$, nilai $\mu (A)$ definisikan sebagai jumlah unsur himpunan $A$. Fungsi itu $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ dikenal sebagai ukuran penghitungan di $X$.

Referensi

• Hendra Gunawan, 2014. Analisis Fourier dan Wavelet. Catatan Kuliah.
• R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1  Chapter III.
• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-317160-0  Second edition.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428-32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.