Matriks (matematika)

Untuk kegunaan lain, lihat matriks dan matriks.

Lihat pula: Aljabar linear

Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu

${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.$

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.

Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}\!$

Notasi

Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}.$

Operasi dasar

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

$a_{ij}\pm b_{ij}=c_{ij}\!$

atau dalam representasi dekoratfinya

${\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{6}&{5}\\\end{bmatrix}}\!$

${\begin{bmatrix}(a_{11}\pm b_{11})&(a_{12}\pm b_{12})&(a_{13}\pm b_{13})\\(a_{21}\pm b_{21})&(a_{22}\pm b_{22})&(a_{23}\pm b_{23})\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\\end{bmatrix}}\!$

Perkalian skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda \cdot A:=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Contoh perhitungan :

$5\cdot {\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{pmatrix}}$

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$