Teorema binomial

Dalam aljabar elementer, teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x + y)ⁿ menjadi sebuah penjumlahan dari suku-suku dengan bentuk ax^by^c, dimana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b + c = n, dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,

Koefisien binomial dapat dilihat pada segitiga Pascal dimana setiap entri adalah hasil penjumlahan dua angka di atasnya.

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}y^{0}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,x^{0}y^{4}.$

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

Koefisien a pada suku ax^by^c dikenal sebagai koefisien binomial ${\tbinom {n}{b}}$ atau ${\tbinom {n}{c}}$ (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal. Angka-angka ini juga muncul dalam kombinatorika, dimana ${\tbinom {n}{b}}$ menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n.

Sejarah

Rumus dan susunan segitiga dari koefisien binomial ini sering dikaitkan dengan Blaise Pascal, yang menguraikannya pada abad ke-17. Tetapi, sebenarnya rumus dan susunan tersebut telah dikenal oleh banyak matematikawan jauh sebelum Pascal. Contohnya, Sir Isaac Newton dihargai atas jasanya yang menjelaskan mengenai teorema binomial umum, yang berlaku untuk setiap eksponen. Matematikawan Yunani abad ke-4 SM Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2 seperti yang dilakukan oleh matematikawan India abad ke-3 SM Pingala untuk tingkat yang lebih tinggi. Sebuah teorema binomial yang lebih umum dan kemudian disebut "segitiga Pascal" telah dikenal pada abad ke-10 M oleh matematikawan India Halayudha dan matematikawan Persia Al-Karaji, pada abad ke-11 oleh penyair dan matematikawan Persia Umar Khayyām, dan pada abad ke-13 oleh matematikawan Cina Yang Hui, yang semuanya memperoleh hasil yang sama. Al-Karaji juga memberikan sebuah pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga Pascal, dengan menggunakan induksi matematika.

Pernyataan teorema

Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari x + y menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$

dimana setiap ${\tbinom {n}{k}}$ adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial. Rumus ini dikenal juga sebagai rumus binomial atau identitas binomial. Dengan menggunakan notasi penjumlahan, rumus itu dapat ditulis

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.

Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1, sehingga hanya terdapat satu variabel. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi

$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$

atau ekuivalen

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.$

Contoh

Segitiga Pascal

Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x + y kuadrat

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!$

Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x + y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:

${\begin{aligned}\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$

Perhatikan bahwa:

1. Eksponen dari $x$ menurun hingga mencapai 0 ($x^{0}=1$) dengan nilai awal adalah n (n pada $(x+y)^{n}$).
2. Eksponen dari $y$ naik dari 0 ($y^{0}=1$) hingga mencapai n (juga n pada $(x+y)^{n}$).
3. Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
4. Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan $2^{n}$.
5. Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan $n+1$.

Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,

${\begin{aligned}(x+4)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(4)+3x(4)^{2}+4^{3}\\&=x^{3}+12x^{2}+48x+64.\end{aligned}}$

Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan tanda yang berlawanan pada suku berikutnya:

$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!$

Contoh lain yang berguna adalah pengembangan akar kuadrat berikut:

$(1+x)^{0.5}=\textstyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots$

$(1+x)^{-0.5}=\textstyle 1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots$

Referensi

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Indian J. History Sci. 1 (1): 68–74. 
• Barth, N. R. (2004). "Computing Cavalieri's quadrature formula by a symmetry of the n-cube". The American Mathematical Monthly. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. 
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (edisi ke-2nd). Addison Wesley. hlm. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.