Uji kekonvergenan

Tes konvergensi (Uji konvergensi; bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metoda untuk melakukan tes berkenaan dengan deret konvergen, konvergensi bersyarat, konvergensi mutlak, interval konvergensi atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar tes

Tes elemen

Jika limit dari summand (jumlah semua elemen) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, maka deret itu pastilah divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Tes ini tidak mempunyai kesimpulan (inconclusive) jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.

Tes rasio

Juga dikenal sebagai "Kriteria D'Alembert" (D'Alembert's criterion). Misalnya ada $r$ sedemikian sehingga

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Jika r < 1, maka deret itu konvergen.

Jika r > 1, maka deret itu divergen.

Jika r = 1, tes rasio tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Tes akar

Juga dikenal sebagai "Test akar ke-n" (nth root test atau "Kriteria Cauchy", Cauchy's criterion). Diketahui r didefinisikan sebagai berikut:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

di mana "lim sup" melambangkan batas atas limit (mungkin ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).

Jika r < 1, maka deret itu konvergen.

Jika r > 1, maka deret itu divergen.

Jika r = 1, tes akar tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Tes integral

Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. Misalnya $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ adalah suatu fungsi positif dan monotone decreasing sedemikian sehingga $f(n)=a_{n}$.

Jika $\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$ maka deret itu konvergen

Jika integral itu divergen, maka deret itu juga divergen.

Dengan kata lain, deret ${a_{n}}$ konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.

Tes perbandingan langsung

Jika deret $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ merupakan suatu deret konvergen mutlak dan $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ untuk n yang cukup besar, maka deret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ mutlak konvergen (absolutely convergent).

Tes perbandingan limit

Jika $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, dan limit $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ada, finit dan bukan nol, maka $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergen jika dan hanya jika $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergen.

Tes kondensasi Cauchy

Misalkan $\left\{a_{n}\right\}$ adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ konvergen. Lagi pual, jika konvergen, maka $A\leq A^{*}\leq 2A$ berlaku.

Tes Abel

Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:

1. $\sum a_{n}$ adalah suatu deret konvergen,
2. {b_n} adalah suatu urutan monoton, dan
3. {b_n} mempunyai batasan (bounded).

Maka $\sum a_{n}b_{n}$ juga konvergen.

Tes Raabe-Duhamel

Misalkan { a_n } > 0.

Definisikan

$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)$.

Jika $L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ada, maka ada tiga kemungkinan:

• Jika L > 1 deret itu konvergen
• Jika L < 1 deret itu divergen
• Jika L = 1 tes itu tidak konklusif.

Suatu rumus alternatif tes ini adalah sebagai berikut. Misalkan { a_n } adalah suatu deret bilangan real. Maka jika b > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga

$|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|\leq 1-{\frac {b}{n}}$

untuk semua n > K maka deret { a_n } itu konvergen.

Catatan

• Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan tes Dini

Perbandingan

Tes akar lebih kuat dari tes rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana tes rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari tes akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.

Contohnya, untuk deret

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...=4

konvergen menurut tes akar tetapi tidak konvergen menurut tes rasio.

Contoh

Pertimbangkan deret

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$.

Tes kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa (*) konvergen secara finit jika

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

secara finit konvergen. Karena

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(**) merupakan deret geometri dengan rasio $2^{(1-\alpha )}$. (**) secara finit konvergen jika rasionya kurang dari satu (yaitu $\alpha >1$). Jadi, (*) secara finit konvergen jika dan hanya jika $\alpha >1$.

Lihat pula

• Kaidah L'Hôpital
• Kaidah geser

Pranala luar

• Flowchart for choosing convergence test