Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Persamaan ditulis dengan tanda sama dengan (=), seperti berikut:
x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 2.
2x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 1. Pernyataan di atas adalah suatu kesamaan . Persamaan dapat digunakan untuk menyatakan kesamaan dua ekspresi yang terdiri dari satu atau lebih variabel . Sebagai contoh, untuk x anggota bilangan nyata , persamaan berikut selalu benar:
x (x - 1) = x 2 − x. Persamaan di atas adalah contoh dari identitas : persamaan yang selalu benar, tak peduli berapa pun nilai variabel yang ada di dalamnya. Persamaan berikut bukanlah suatu identitas:
x2 - x = 0.Persamaan di atas adalah salah untuk sejumlah tak hingga x , dan hanya benar untuk satu nilai; nilai akar unik dari persamaan, x =1. Karenanya, jika suatu persamaan diketahui bernilai benar , persamaan tersebut membawa informasi mengenai nilai x . Secara umum, nilai variabel di mana suatu persamaan menjadi benar disebut dengan solusi atau penyelesaian . Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan solusinya.
Banyak pengarang yang menggunakan istilah persamaan untuk kesamaan yang bukan identitas. Perbedaan antara kedua konsep tersebut kadang sulit dibedakan; sebagai contoh,
(x + 1)2 = x 2 + 2x + 1 adalah identitas, sedangkan
(x + 1)2 = 2x 2 + x + 1 adalah persamaan yang memiliki akar x=0 dan x=1 . Apakah suatu pernyataan dimaksudkan sebagai suatu identitas atau suatu persamaan, menentukan informasi mengenai variabelnya sering dapat ditentukan berdasarkan konteksnya.
Huruf-huruf awal alfabet seperti a , b , c , ... sering kali digunakan sebagai konstanta , dan huruf-huruf di akhir alfabet, seperti x , y , z , umumnya digunakan sebagai lambang variabel.
Jenis-jenis persamaan
Jenis-jenis persamaan sebagai berikut:
Persamaan Linear Tentukan nilai x dari persamaan
6
x
−
7
=
5
x
+
3
{\displaystyle 6x-7=5x+3}
6
x
−
7
=
5
x
+
3
{\displaystyle 6x-7=5x+3}
6
x
−
5
x
=
3
+
7
{\displaystyle 6x-5x=3+7}
x
=
10
{\displaystyle x=10}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
10
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{10\},x\in R\}}
Persamaan Kuadrat Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
7
x
=
10
−
4
x
{\displaystyle x^{2}-7x=10-4x}
x
2
−
7
x
=
10
−
4
x
{\displaystyle x^{2}-7x=10-4x}
x
2
−
3
x
−
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
x
=
−
2
∨
x
=
5
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
2
,
5
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}}
Persamaan Akar Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
4
x
=
10
−
x
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}={\sqrt {10-x}}}
x
2
−
4
x
=
10
−
x
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}={\sqrt {10-x}}}
(
x
2
−
4
x
)
2
=
(
10
−
x
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}=({\sqrt {10-x}})^{2}}
x
2
−
4
x
=
10
−
x
{\displaystyle x^{2}-4x=10-x}
x
2
−
3
x
−
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
(
x
+
2
)
(
x
−
5
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-5)=0}
x
=
−
2
∨
x
=
5
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
2
,
5
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}}
Persamaan Pecahan Tentukan nilai x dari persamaan
x
−
4
x
−
3
=
x
+
1
x
−
2
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}={\frac {x+1}{x-2}}}
x
−
4
x
−
3
=
x
+
1
x
−
2
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}={\frac {x+1}{x-2}}}
x
−
4
x
−
3
−
x
+
1
x
−
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}=0}
(
x
−
4
)
(
x
−
2
)
−
(
x
+
1
)
(
x
−
3
)
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-2)}}=0}
x
2
−
6
x
+
8
−
(
x
2
−
2
x
−
3
)
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-6x+8-(x^{2}-2x-3)}{(x+1)(x-2)}}=0}
−
4
x
+
11
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {-4x+11}{(x+1)(x-2)}}=0}
−
4
x
+
11
=
0
{\displaystyle -4x+11=0}
x
=
11
4
{\displaystyle x={\frac {11}{4}}}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
11
4
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{{\frac {11}{4}}\},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}=1}
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}=1}
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
−
1
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}-1=0}
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
−
3
x
−
8
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}-{\frac {3x-8}{3x-8}}=0}
x
2
−
3
x
−
3
−
(
3
x
−
8
)
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3-(3x-8)}{3x-8}}=0}
x
2
−
6
x
+
5
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-6x+5}{3x-8}}=0}
(
x
−
1
)
(
x
−
5
)
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {(x-1)(x-5)}{3x-8}}=0}
(
x
−
1
)
(
x
−
5
)
=
0
{\displaystyle (x-1)(x-5)=0}
x
=
1
∨
x
=
5
{\displaystyle x=1\lor x=5}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
1
,
5
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{1,5\},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
2
x
−
8
x
2
+
x
−
20
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-2x-8}{x^{2}+x-20}}=0}
x
2
−
2
x
−
8
x
2
+
x
−
20
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-2x-8}{x^{2}+x-20}}=0}
(
x
+
2
)
(
x
−
4
)
(
x
+
5
)
(
x
−
4
)
=
0
{\displaystyle {\frac {(x+2)(x-4)}{(x+5)(x-4)}}=0}
x
+
2
x
+
5
=
0
{\displaystyle {\frac {x+2}{x+5}}=0}
x
+
2
=
0
{\displaystyle x+2=0}
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
2
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{2\},x\in R\}}
Persamaan Mutlak Dalam bentuk persamaan mutlak sebagai berikut:
|
f
(
x
)
|
=
g
(
x
)
{\displaystyle |f(x)|=g(x)}
haruslah mempunyai dua nilai yaitu
|
f
(
x
)
|
=
{
f
(
x
)
,
maka penyelesaian
f
(
x
)
≥
0
−
f
(
x
)
,
maka penyelesaian
f
(
x
)
<
0
{\displaystyle |f(x)|=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)\geq 0\\\\-f(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<0\end{matrix}}\right.}
Persamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
|
x
+
4
10
−
x
|
=
|
1
x
−
2
|
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|=|{\frac {1}{x-2}}|}
|
x
+
4
10
−
x
|
=
|
1
x
−
2
|
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|=|{\frac {1}{x-2}}|}
(
x
+
4
10
−
x
)
2
=
(
1
x
−
2
)
2
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}=({\frac {1}{x-2}})^{2}}
(
x
+
4
10
−
x
)
2
−
(
1
x
−
2
)
2
=
0
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}=0}
(
x
+
4
10
−
x
+
1
x
−
2
)
(
x
+
4
10
−
x
−
1
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})=0}
(
(
x
+
4
)
(
x
−
2
)
+
10
−
x
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
(
(
x
+
4
)
(
x
−
2
)
−
(
10
−
x
)
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})=0}
(
x
2
+
2
x
−
8
+
10
−
x
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
(
x
2
+
2
x
−
8
−
10
+
x
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})=0}
(
x
2
+
x
+
2
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
(
x
2
+
3
x
−
18
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})=0}
akar dari
x
2
+
x
+
2
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}}
x
2
+
x
+
2
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}=0}
x
2
+
x
+
2
{\displaystyle x^{2}+x+2}
akar dari
x
2
+
3
x
−
18
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}}
x
2
+
3
x
−
18
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}=0}
x
2
+
3
x
−
18
=
0
{\displaystyle x^{2}+3x-18=0}
(
x
+
6
)
(
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle (x+6)(x-3)=0}
x
=
−
6
∨
x
=
3
{\displaystyle x=-6\lor x=3}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
6
,
3
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-6,3\},x\in R\}}
Lihat pula
Pranala luar 
