Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Persamaan ditulis dengan tanda sama dengan (=), seperti berikut:
x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 2.
2x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 1. Pernyataan di atas adalah suatu kesamaan . Persamaan dapat digunakan untuk menyatakan kesamaan dua ekspresi yang terdiri dari satu atau lebih variabel . Sebagai contoh, untuk x anggota bilangan nyata , persamaan berikut selalu benar:
x (x - 1) = x 2 − x. Persamaan di atas adalah contoh dari identitas : persamaan yang selalu benar, tak peduli berapa pun nilai variabel yang ada di dalamnya. Persamaan berikut bukanlah suatu identitas:
x2 - x = 0.Persamaan di atas adalah salah untuk sejumlah tak hingga x , dan hanya benar untuk satu nilai; nilai akar unik dari persamaan, x =1. Karenanya, jika suatu persamaan diketahui bernilai benar , persamaan tersebut membawa informasi mengenai nilai x . Secara umum, nilai variabel di mana suatu persamaan menjadi benar disebut dengan solusi atau penyelesaian . Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan solusinya.
Banyak pengarang yang menggunakan istilah persamaan untuk kesamaan yang bukan identitas. Perbedaan antara kedua konsep tersebut kadang sulit dibedakan; sebagai contoh,
(x + 1)2 = x 2 + 2x + 1 adalah identitas, sedangkan
(x + 1)2 = 2x 2 + x + 1 adalah persamaan yang memiliki akar x=0 dan x=1 . Apakah suatu pernyataan dimaksudkan sebagai suatu identitas atau suatu persamaan, menentukan informasi mengenai variabelnya sering dapat ditentukan berdasarkan konteksnya.
Huruf-huruf awal alfabet seperti a , b , c , ... sering kali digunakan sebagai konstanta , dan huruf-huruf di akhir alfabet, seperti x , y , z , umumnya digunakan sebagai lambang variabel.
Jenis-jenis persamaan
Jenis-jenis persamaan sebagai berikut:
Persamaan Linear Tentukan nilai x dari persamaan
6
x
−
7
=
5
x
+
3
{\displaystyle 6x-7=5x+3}
6
x
−
7
=
5
x
+
3
{\displaystyle 6x-7=5x+3}
6
x
−
5
x
=
3
+
7
{\displaystyle 6x-5x=3+7}
x
=
10
{\displaystyle x=10}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
10
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{10\},x\in R\}}
Persamaan Kuadrat Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
7
x
=
10
−
4
x
{\displaystyle x^{2}-7x=10-4x}
x
2
−
7
x
=
10
−
4
x
{\displaystyle x^{2}-7x=10-4x}
x
2
−
3
x
−
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
x
=
−
2
∨
x
=
5
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
2
,
5
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}}
Persamaan Akar Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
4
x
=
10
−
x
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}={\sqrt {10-x}}}
x
2
−
4
x
=
10
−
x
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}={\sqrt {10-x}}}
(
x
2
−
4
x
)
2
=
(
10
−
x
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}=({\sqrt {10-x}})^{2}}
x
2
−
4
x
=
10
−
x
{\displaystyle x^{2}-4x=10-x}
x
2
−
3
x
−
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
(
x
+
2
)
(
x
−
5
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-5)=0}
x
=
−
2
∨
x
=
5
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
2
,
5
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}}
Persamaan Pecahan Tentukan nilai x dari persamaan
x
−
4
x
−
3
=
x
+
1
x
−
2
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}={\frac {x+1}{x-2}}}
x
−
4
x
−
3
=
x
+
1
x
−
2
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}={\frac {x+1}{x-2}}}
x
−
4
x
−
3
−
x
+
1
x
−
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}=0}
(
x
−
4
)
(
x
−
2
)
−
(
x
+
1
)
(
x
−
3
)
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-2)}}=0}
x
2
−
6
x
+
8
−
(
x
2
−
2
x
−
3
)
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-6x+8-(x^{2}-2x-3)}{(x+1)(x-2)}}=0}
−
4
x
+
11
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {-4x+11}{(x+1)(x-2)}}=0}
−
4
x
+
11
=
0
{\displaystyle -4x+11=0}
x
=
11
4
{\displaystyle x={\frac {11}{4}}}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
11
4
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{{\frac {11}{4}}\},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}=1}
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}=1}
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
−
1
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}-1=0}
x
2
−
3
x
−
3
3
x
−
8
−
3
x
−
8
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}-{\frac {3x-8}{3x-8}}=0}
x
2
−
3
x
−
3
−
(
3
x
−
8
)
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3-(3x-8)}{3x-8}}=0}
x
2
−
6
x
+
5
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-6x+5}{3x-8}}=0}
(
x
−
1
)
(
x
−
5
)
3
x
−
8
=
0
{\displaystyle {\frac {(x-1)(x-5)}{3x-8}}=0}
(
x
−
1
)
(
x
−
5
)
=
0
{\displaystyle (x-1)(x-5)=0}
x
=
1
∨
x
=
5
{\displaystyle x=1\lor x=5}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
1
,
5
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{1,5\},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
x
2
−
2
x
−
8
x
2
+
x
−
20
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-2x-8}{x^{2}+x-20}}=0}
x
2
−
2
x
−
8
x
2
+
x
−
20
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}-2x-8}{x^{2}+x-20}}=0}
(
x
+
2
)
(
x
−
4
)
(
x
+
5
)
(
x
−
4
)
=
0
{\displaystyle {\frac {(x+2)(x-4)}{(x+5)(x-4)}}=0}
x
+
2
x
+
5
=
0
{\displaystyle {\frac {x+2}{x+5}}=0}
x
+
2
=
0
{\displaystyle x+2=0}
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
2
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{2\},x\in R\}}
Persamaan Mutlak Dalam bentuk persamaan mutlak sebagai berikut:
|
f
(
x
)
|
=
g
(
x
)
{\displaystyle |f(x)|=g(x)}
haruslah mempunyai dua nilai yaitu
|
f
(
x
)
|
=
{
f
(
x
)
,
maka penyelesaian
f
(
x
)
≥
0
−
f
(
x
)
,
maka penyelesaian
f
(
x
)
<
0
{\displaystyle |f(x)|=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)\geq 0\\\\-f(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<0\end{matrix}}\right.}
Persamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.
Tentukan nilai x dari persamaan
|
x
2
+
x
|
=
12
{\displaystyle |x^{2}+x|=12}
|
x
2
+
x
|
=
12
{\displaystyle |x^{2}+x|=12}
batasan f(x)
x
2
+
x
=
12
{\displaystyle x^{2}+x=12}
x
2
+
x
−
12
=
0
{\displaystyle x^{2}+x-12=0}
(
x
+
4
)
(
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle (x+4)(x-3)=0}
x
=
−
4
∨
x
=
3
{\displaystyle x=-4\lor x=3}
batasan -f(x)
x
2
+
x
=
−
12
{\displaystyle x^{2}+x=-12}
x
2
+
x
+
12
=
0
{\displaystyle x^{2}+x+12=0}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
4
,
3
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-4,3\},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
|
x
2
−
4
x
−
12
|
−
|
7
−
6
x
|
=
5
{\displaystyle |x^{2}-4x-12|-|7-6x|=5}
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada untuk | x^2 - 4x - 12 |
|
x
2
−
4
x
−
12
|
=
{
x
2
−
4
x
−
12
,
maka penyelesaian
x
2
−
4
x
−
12
≥
0
−
(
x
2
−
4
x
−
12
)
,
maka penyelesaian
x
2
−
4
x
−
12
<
0
{\displaystyle |x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
x
2
−
4
x
−
12
≥
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
−
4
x
−
12
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
(
x
+
2
)
(
x
−
6
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
x
=
−
2
∨
x
=
6
{\displaystyle x=-2\lor x=6}
dibuat irisan
x
≤
−
2
∨
x
≥
6
{\displaystyle x\leq -2\lor x\geq 6}
batasan -f(x)
x
2
−
4
x
−
12
<
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12<0}
dibuat harga nol
x
2
−
4
x
−
12
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
(
x
+
2
)
(
x
−
6
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
x
=
−
2
∨
x
=
6
{\displaystyle x=-2\lor x=6}
dibuat irisan
−
2
<
x
<
6
{\displaystyle -2<x<6}
untuk | 7 - 6x |
|
7
−
6
x
|
=
{
7
−
6
x
,
maka penyelesaian
7
−
6
x
≥
0
−
(
7
−
6
x
)
,
maka penyelesaian
7
−
6
x
<
0
{\displaystyle |7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
7
−
6
x
≥
0
{\displaystyle 7-6x\geq 0}
x
≤
7
6
{\displaystyle x\leq {\frac {7}{6}}}
batasan -f(x)
7
−
6
x
<
0
{\displaystyle 7-6x<0}
x
>
7
6
{\displaystyle x>{\frac {7}{6}}}
keempat batas-batas akan dibuat irisan
irisan
-2
7/6
6
pertama
x^2 - 4x - 12
—
—
—
x^2 - 4x - 12
kedua
—
-(x^2 - 4x - 12)
—
-(x^2 - 4x - 12)
—
ketiga
7 - 6x
—
7 - 6x
—
—
keempat
—
—
-(7 - 6x)
—
-(7 - 6x)
untuk x <= -2
x
2
−
4
x
−
12
−
(
7
−
6
x
)
=
5
{\displaystyle x^{2}-4x-12-(7-6x)=5}
x
2
−
4
x
−
12
−
7
+
6
x
−
5
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12-7+6x-5=0}
x
2
+
2
x
−
24
=
0
{\displaystyle x^{2}+2x-24=0}
(
x
+
6
)
(
x
−
4
)
=
0
{\displaystyle (x+6)(x-4)=0}
x
=
−
6
∨
x
=
4
{\displaystyle x=-6\lor x=4}
hanya
x
=
−
6
{\displaystyle x=-6}
untuk -5/2 <= x < -4/3
2
x
+
5
+
3
x
+
4
=
−
2
{\displaystyle 2x+5+3x+4=-2}
5
x
=
−
11
{\displaystyle 5x=-11}
x
=
−
11
5
{\displaystyle x=-{\frac {11}{5}}}
untuk x >= -4/3
2
x
+
5
−
(
3
x
+
4
)
=
−
2
{\displaystyle 2x+5-(3x+4)=-2}
−
x
=
−
3
{\displaystyle -x=-3}
x
=
3
{\displaystyle x=3}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
11
5
,
3
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-{\frac {11}{5}},3\},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
|
x
+
4
10
−
x
|
=
|
1
x
−
2
|
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|=|{\frac {1}{x-2}}|}
|
x
+
4
10
−
x
|
=
|
1
x
−
2
|
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|=|{\frac {1}{x-2}}|}
(
x
+
4
10
−
x
)
2
=
(
1
x
−
2
)
2
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}=({\frac {1}{x-2}})^{2}}
(
x
+
4
10
−
x
)
2
−
(
1
x
−
2
)
2
=
0
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}=0}
(
x
+
4
10
−
x
+
1
x
−
2
)
(
x
+
4
10
−
x
−
1
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})=0}
(
(
x
+
4
)
(
x
−
2
)
+
10
−
x
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
(
(
x
+
4
)
(
x
−
2
)
−
(
10
−
x
)
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})=0}
(
x
2
+
2
x
−
8
+
10
−
x
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
(
x
2
+
2
x
−
8
−
10
+
x
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})=0}
(
x
2
+
x
+
2
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
(
x
2
+
3
x
−
18
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
)
=
0
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})=0}
akar dari
x
2
+
x
+
2
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}}
x
2
+
x
+
2
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}=0}
x
2
+
x
+
2
=
0
{\displaystyle x^{2}+x+2=0}
akar dari
x
2
+
3
x
−
18
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}}
x
2
+
3
x
−
18
(
10
−
x
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}=0}
x
2
+
3
x
−
18
=
0
{\displaystyle x^{2}+3x-18=0}
(
x
+
6
)
(
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle (x+6)(x-3)=0}
x
=
−
6
∨
x
=
3
{\displaystyle x=-6\lor x=3}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
−
6
,
3
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-6,3\},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
|
x
2
−
4
x
|
=
|
3
x
−
10
|
{\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|=|{\sqrt {3x-10}}|}
|
x
2
−
4
x
|
=
|
3
x
−
10
|
{\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|=|{\sqrt {3x-10}}|}
(
x
2
−
4
x
)
2
=
(
3
x
−
10
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}=({\sqrt {3x-10}})^{2}}
x
2
−
4
x
=
3
x
−
10
{\displaystyle x^{2}-4x=3x-10}
x
2
−
7
x
+
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-7x+10=0}
(
x
−
2
)
(
x
−
5
)
=
0
{\displaystyle (x-2)(x-5)=0}
x
=
2
∨
x
=
5
{\displaystyle x=2\lor x=5}
H
P
=
{
x
|
x
=
{
2
,
5
}
,
x
∈
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{2,5\},x\in R\}}
Lihat pula
Pranala luar 
