Basis (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat".

Definisi formal

Basis untuk ruang vektor $V$ (atas medan $F$) adalah suatu himpunan bagian $B\subset V$ yang memenuhi:

1. Setiap $\mathbf {v} \in V$ dapat dituliskan sebagai $\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbf {b} _{i}$ dengan $k\in \mathbb {N} ,a_{1},\ldots ,a_{k}\in F,\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{k}\in B$.
2. Jika $\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{\tilde {k}}{\tilde {a}}_{i}{\tilde {\mathbf {b} }}_{i}$ representasi lain, maka $k={\tilde {k}}$ dan ada suatu permutasi $\iota :\{1,\ldots ,k\}\to \{1,\ldots ,k\}$ yang $a_{i}={\tilde {a}}_{\iota (i)}$ dan $\mathbf {b} _{i}={\tilde {\mathbf {b} }}_{\iota (i)}$.