Logaritma biner

Logaritma biner (bahasa Inggris: binary logarithm) dalam matematika adalah, adalah logaritma dengan basis 2, yang biasanya dilambangkan dengan log₂ n atau ²log n. Merupakan fungsi invers dari fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua. Logaritme biner n adalah kepangkatan bilangan dua untuk mendapatkan nilai  n. Jadi:

Kurva log₂ n

$x=\log _{2}n\quad \Longleftrightarrow \quad 2^{x}=n.$

Misalnya:

• logaritme biner 1 adalah 0
• logaritme biner 2 adalah 1
• logaritme biner 4 adalah 2
• logaritme biner 8 adalah 3
• logaritme biner 16 adalah 4
• logaritme biner 32 adalah  5

dan seterusnyaq

Logaritma biner terkait erat dengan "Sistem bilangan biner". Dalam sejarahnya, aplikasi pertama logaritme biner adalah dalam teori musik, oleh Leonhard Euler. Bidang lain yang sering menggunakan logaritme biner termasuk teori informasi, combinatorics, computer science, bioinformatika, desain turnamen olahraga, dan fotografi.

Sejarah

Leonhard Euler adalah orang pertama yang menerapkan logaritme biner pada teori musik, pada tahun 1739.

Tabel pangkat dua dipublikasikan oleh Michael Stifel pada tahun 1544 dan dapat ditafsirkan (dengan membalikkan baris-barisnya) sebagai tabel logaritme biner. Aplikasi logaritme biner pada teori musik dilakukan oleh Leonhard Euler pada tahun 1739, jauh sebelum teori informasi dan sains komputer menjadi bidang studi. Sebagai bagian karyanya dalam bidang ini, Euler menyertakan suatu tabel logaritme biner bagi integer dari 1 sampai 8, sampai dengan tujuh desimal untuk keakuratannya.

Notasi

Dalam matematika, logaritme biner suatu bilangan n ditulis sebagai log₂ n atau ²log n. Namun, sejumlah notasi lain fungsi ini telah diusulkan dan digunakan dalam berbagai bidang.

Sejumlah pengarang menuliskan logaritme biner sebagai lg n. Donald Knuth mengungkapkan bahwa notasi ini didapatnya dari usulan Edward Reingold, tetapi penggunaannya dalam teori informasi maupun sains komputer tampaknya sudah ada sebelum Reingold aktif. Logaritme biner juga pernah ditulis sebagai log n, dengan catatan bahwa basis default logaritma adalah bilangan 2 (bukan 10 sebagaimana lazimnya).

Teori musik

Dalam teori musik, interval atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua frekuensinya. Interval yang datang dari rasio bilangan rasional dengan numerator dan denominator kecil diterima sebagai sangat euphonius. Interval yang paling sederhana dan paling penting adalah oktaf, suatu rasio frekuensi 2:1. Bilangan oktaf dari perbedaan dua nada merupakan logaritma biner dari rasio frekuensi kedua nada itu.

Untuk mempelajari tuning system dan aspek lain dari teori musik dibutuhkan pembedaan yang lebih peka antara nada-nada, sehingga diperlukan suatu pengukuran besarnya interval yang lebih halus dari suatu oktaf dan dapat ditambah (sebagaimana suatu [[logaritma) bukannya dikalikan (sebagaimana rasio frekuensi). Jadi, jika nada-nada x, y, dan z membentuk urutan nada-nada yang menaik, maka ukuran interval dari x ke y ditambah ukuran interval dari y ke z seharusnya sama dengan ukuran interval dari x ke z. Pengukuran semacam ini dilakukan dengan satuan cent, yang membagi suatu oktaf menjadi 1200 interval yang sama (12 semitone yang masing-masing terdiri dari 100 cent). Secara matematis, nada-nada dengan frekuensi f₁ dan f₂, mempunyai jumlah cent dalam interval dari x ke y sebesar

$\left|1200\log _{2}{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right|.$

Istilah milioktaf didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi dengan suatu multiplier 1000 bukannya 1200.

Fotografi

Dalam fotografi, nilai eksposure diukur menggunakan logaritma biner jumlah cahaya yang mencapai film atau sensor, sejalan dengan Weber–Fechner law yang menyatakan respons logaritmik sistem penglihatan manusia terhadap cahaya. Satu stop exposure adalah satu unit dalam skala logaritma basis-2. Lebih tepatnya, nilai exposure suatu foto didefinisikan sebagai:

$\log _{2}{\frac {N^{2}}{t}}$

di mana $N$ adalah f-number yang mengukur aperture lensa selama exposure, dan $t$ adalah jumlah detik lamanya exposure.

Kalkulasi

Konversi dari basis-basis lain

Suatu cara mudah untuk menghitung ²log (n) pada kalkulator yang tidak mempunyai fungsi log₂ adalah menggunakan fungsi logaritma natural (ln) atau logaritma umum (log), yang biasanya ada pada kebanyakan scientific calculator. Rumus perubahan basis logaritma adalah:

$\log _{2}n={\frac {\ln n}{\ln 2}}={\frac {\log _{10}n}{\log _{10}2}},$

or approximately

$\log _{2}n\approx 1.442695\ln n\approx 3.321928\log _{10}n.$

Dukungan perpustakaan software

Fungsi log2 dimasukkan ke dalam fungsi matematika C standar. Versi default fungsi ini mengambil argumen double precision tetapi varian-variannya mengizinkan argumen dalam bentuk single-precision atau sebagai long double.

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Binary Logarithm". MathWorld.