Matriks (matematika)

Untuk kegunaan lain, lihat matriks dan matriks.

Lihat pula: Aljabar linear

"Teori matriks" beralih ke halaman ini. Untuk topik fisika, lihat Teori matriks string.

Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi, yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi. Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini adalah 2 × 3 (baca "dua per tiga"), karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom:

Baris m adalah horizontal dan kolom n vertikal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua notasi indeks. Misalnya, a_2,1 mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A.

${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.$

Butir individual dalam m × n matriks A, sering dilambangkan dengan a _{i, j}, dimana nilai maksimum i = m dan nilai maksimum j = n, disebut elemen, entri atau anggota matriks. Asalkan memiliki ukuran yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), dua matriks dapat ditambahkan atau dikurangkan elemen demi elemen (lihat matriks yang dapat dibentuk). Untuk aturan perkalian matriks, dua matriks dapat dikalikan hanya jika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua (dengan kata lain, dimensi dalamnya sama, n untuk A_m,n × B_n,p).

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.

Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}\!$

Notasi

Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:

${\textstyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}.}$

Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Bujur Sangkar: apabila ukuran baris dan kolom sama atau m = n
2. Matriks Diagonal: merupakan matriks bujur sangkar yang $a_{ij}=0$, untuk i ≠ j
3. Matriks Skalar: merupakan matriks diagonal yang memiliki unsur diagonal utamanya sama, misalnya k
4. Matriks identitas: merupakan matriks skalar di mana k = 1
5. Matriks simetrik: merupakan matriks bujur sangkar dengan $a_{ij}=a_{ji}$untuk $\forall _{i,j}$.
6. Matriks anti simetris: merupakan matriks bujur sangkar yang transposenya adalah negatif dari matriks tersebut dengan $a_{ij}=-a_{ji}$
7. Matriks Segitiga atas (Upper triangular): merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya dibawah diagonal utamanya adalah 0, $a_{ij}=0$dan $\forall i>j$
8. Matriks Segitiga bawah (Lower triangular): merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya di atas diagonal utamanya adalah 0, $a_{ij}=0$dan $\forall i<j$

Operasi dasar

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

$a_{ij}\pm b_{ij}=c_{ij}\!$

atau dalam representasi dekoratifnya

${\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{6}&{5}\\\end{bmatrix}}\!$

${\begin{bmatrix}(a_{11}\pm b_{11})&(a_{12}\pm b_{12})&(a_{13}\pm b_{13})\\(a_{21}\pm b_{21})&(a_{22}\pm b_{22})&(a_{23}\pm b_{23})\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\\end{bmatrix}}\!$

Perkalian skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda \cdot A:=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Contoh perhitungan:

$5\cdot {\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{pmatrix}}$

Perkalian matriks

Artikel utama: Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$

Pranala luar

Artikel ensiklopedia

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 

Sejarah

• MacTutor: Matrices and determinants
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors

Buku daring

• Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4 
• The Matrix Cookbook (PDF), diakses tanggal 24 March 2014 
• Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, diakses tanggal 10 Dec 2008 

Kalkulator matriks daring

• matrixcalc (Matrix Calculator) 
• SimplyMath (Matrix Calculator) 
• Free C++ Library 
• Matrix Calculator (DotNumerics) 
• Xiao, Gang, Matrix calculator, diakses tanggal 10 Dec 2008 
• Online matrix calculator, diakses tanggal 10 Dec 2008 
• Online matrix calculator (ZK framework), diakses tanggal 26 Nov 2009 
• Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, diakses tanggal 10 Dec 2008 , a freeware package for matrix algebra and statistics
• Online matrix calculator, diakses tanggal 14 Dec 2009 
• Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)
• Matrix operations widget in Wolfram|Alpha