Metode integrasi numerik

Berikut ini adalah beberapa metoda integrasi numerik yang lazim digunakan :

1. Metoda EULER Eksplisit

  Metoda ini merupakan metoda integrasi yang paling mudah       
  Berkas:Expeulerintegrator.jpg 
  ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$
  $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$

2. Metoda HEUN

  Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu $u_{k}$ dan $u_{k-1}$
  Berkas:Heun integrator.jpg 
  ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$                                                                                                                                                                                                     
  
  $x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$
  ${\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})$
  
  $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})$

3. Metoda Runge-Kutta

  Metoda Runge-Kutta merupakan integrator dengan empat masukan.               
  
  ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$
  
  $x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}$
  ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})$
  
  $x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}$
  ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})$
  
  $x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}$
  ${\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})$
  
  $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})$

4. Metoda EULER Implisit

  Berkas:Impl euler integrator1.jpg
  ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$
  $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}$
  
  Pada metoda integrasi implisit nilai aktual $x_{k}$ juga digunakan sebagai umpan balik. 
  Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya  
  maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini                   
  Berkas:Impl euler integrator2.jpg
  ${\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})$
  $x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}$
  
  J adalah matrix Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matrix J = A

5. Metoda Trapesium (Trapez)

  Metoda Trapesium merupakan nilai tengah dari metoda Euler eksplisit dan metoda Euler implisit.
  Berkas:Trapez integrator.jpg
  ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$
  ${\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$
  $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})$
  
  Sama halnya dengan metoda EULER implisit, metoda ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar.
  Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini 
  
  ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})$
  $x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}$