Faktorial

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan sebagai:

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1

Sebagai contoh, nilai dari $7!$ adalah $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040.$ Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial:

n -> n!

0 -> 1

1 -> 1

2 -> 2

3 -> 6

4 -> 24

5 -> 120

6 -> 720

7 -> 5'040

8 -> 40'320

9 -> 362'880

10 -> 3'628'800

12 -> 479'001'600

14 -> 87'178'291'200

15 -> 1'307'674'368'000

16 -> 20'922'789'888'000

18 -> 6'402'373'705'728'000

20 -> 2'432'902'008'176'640'000

25 -> 1'5511210043×10²⁵

30 -> 2'6525286×10³²

35 -> 1'0333148×10⁴⁰

42 -> 1'4050061178×10⁵¹

50 -> 3'0414093202×10⁶⁴

70 -> 1'1978571670×10¹⁰⁰

100 -> 9'3326215444×10¹⁵⁷

450 -> 1'7333687331×10^1'000

1'000 -> 4'0238726008×10^2'567

3'249 -> 6'4123376883×10^10'000

10'000 -> 2'8462596809×10^35'659

25'206 -> 1'2057034382×10^100'000

100'000 -> 2'8242294080×10^456'573

205'023 -> 2'5038989317×10^1'000'004

1'000'000 -> 8'2639316883×10^5'565'708

Pengertian

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{untuk semua }}n\geq 1.

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk $n\geq 0$

n!={\begin{cases}n\cdot (n-1)!,&{\mbox{untuk }}n\geq 1\\1,&{\mbox{untuk }}n=0.\end{cases}}

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,{\frac {n^{n}}{e^{n}}}.

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t

n!=\Gamma (n+1)

Faktorial

Pengertian

Lihat pula

Pranala luar