Sistem koordinat bola

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat (x₀, y₀, z₀) dan jari jari r adalah lokus titik (x, y, z) sedemikian rupa sehingga

Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola

Lihat pula: Bola (geometri)

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.$

biarkan a, b, c, d, e bilangan real dengan sebuah a ≠ 0 dan put

$x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.$

Lalu persamaan

$f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0$

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika $\rho <0$ dan disebut persamaan bola imajiner. Jika $\rho =0$, satu-satunya solusi $f(x,y,z)=0$ adalah intinya $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini $\rho >0$, $f(x,y,z)=0$ adalah persamaan bola yang pusatnya adalah $P_{0}$ dan yang radiusnya adalah ${\sqrt {\rho }}$.

Jika a dalam persamaan di atas adalah nol maka f(x, y, z) = 0 adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari $r>0$ dan pusat $(x_{0},y_{0},z_{0})$ dapat diparameterisasi via

${\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}$

Keliling $\theta$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling $\varphi$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.$

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,(x, y, z) dan (dx, dy, dz), yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.