Bilangan segitiga kuadrat

Dalam teorema bilangan, jumlah $n$ kubik pertama adalah kuadrat dari bilangan segitiga ke- $n$ . Ini ditulis:

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}

Dengan menggunakan notasi Sigma, persamaan tersebut dapat ditulis:

\sum _{k=1}^{n}k^{3}={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.

Identitas tersebut terkadang disebut juga teorema Nicomachus. Tteorema ini diambil dari nama Nicomachus dari Geresa (60 - 120 M).

Sejarah

Pada akhir Bab 20 dari Pengantar Aritmatika (Introduction to Arithmetic), Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah $1^{3}$ , jumlah kedua berikutnya adalah $2^{3}$ , jumlah ketiga berikutnya adalah $3^{3}$ , dan seterusnya. Dia tidak melangkah lebih jauh dari ini, tetapi dari sini mendapatkan kesimpulan bahwa: jumlah dari $n^{3}$ pertama sama dengan jumlah dari yang pertama ${\frac {n(n+1)}{2}}$ bilangan ganjil, yaitu, angka ganjil dari 1 hingga $n(n+1)-1$ . Rata-rata pada bilangan tersebut jelas ${\frac {n(n+1)}{2}}$ , dan ada ${\frac {n(n+1)}{2}}$ dari mereka, jadi jumlahnya adalah $\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$ .

Awalnya, banyak matematikawan telah mempelajari dan membuktikan tentang teorema Nicomachus. (Stroeker 1995) mengatakan: "setiap orang yang mempelajari teorema bilangan pasti akan kagum dengan fakta ajaib ini".(Pengelley 2002) menemukan sumber untuk identitas tidak hanya dalam karya Nicomachus di tempat yang sekarang di Jordan pada abad pertama M, tetapi juga pada orang-orang Aryabhata di India pada abad kelima, dan pada orang-orang dari Al-Karaji sekitar 1000 di Persia. (Bressoud 2004) menyebutkan beberapa tambahan awal karya matematika pada rumus ini, oleh Al-Qabisi (Arab abad kesepuluh), Gersonides (sekitar tahun 1300 Prancis), dan Nilakantha Somayaji (sekitar 1500 India); ia memancarkan kembali tentang bukti visual Nilakantha.

Nilai Numerik; Interpretasi Geometris dan Probabilistik

Urutan-urutan pada bilangan segitiga kuadrat adalah:

0,1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... (barisan A000537 pada OEIS).

Bilangan-bilangan ini dapat dilihat sebagai bilangan figurasi, sebuah generalisasi hiperiramidal empat dimensi dari bilangan segitiga dan jumlah piramidal persegi.

(Stein 1971) mengamati bilangan tersebut bahwa bilangan ini juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah $n\times n$ kisi. Sebagai contoh, titik-titik pada $4\times 4$ kisi, (atau kotak yang terdiri dari tiga kotak kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda Jumlah kuadrat dalam kisi kuadrat tersebut sama degan jumlah piramidal kuadrat.

Identitas tersebut juga mengakui interpretasi probabilistik secara alami.

Misalkan $X,Y,Z,W\in \mathbb {Z}$ . Keempat bilangan bulat tersebut dipilih secara independen dan beraturan secara acak antara $1$ dan $n$ . Kemudian, probabilitasnya adalah $W$ menjadi yang paling terbesar dari keempat bilangan sama dengan probabilitas dimana kedua $Y$ setidaknya sebesar $X$ dan $W$ setidaknya sebesar $Z$ , yaitu:

$\mathbf {P} ({\max(X,Y,Z)\leq W})=\mathbf {P} (\{X\leq Y\}\cap \{Z\leq W\})$

Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas dengan $n^{4}$ .

Bukti

Charles Wheatstone (1854) memberikan bentukan yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap kubus dalam jumlah menjadi satu himpunan bilangan ganjil berturut-turut. Dia mulai dengan memberikan identitas

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.

Identitas itu terkait dengan angka segitiga $T_{n}$ dengan cara berikut:

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

dan demikian penjumlahan membentuk $n^{3}$ mulai setelah mereka membentuk semua nilai sebelumnya $1^{3}$ hingga $(n-1)^{3}$ . Dengan menerapkan properti ini, bersama dengan identitas terkenal lainnya:

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

kami mendapatkan bentukan berikut:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

(Row 1893) mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan angka-angka dalam tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari

baris ke- $i$ adalah $i$ dikalikan dengan bilangan segitiga, dari mana jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari angka segitiga. Sebagai alternatif, seseorang dapat menguraikan tabel menjadi urutan gnomon, masing-masing terdiri dari produk-produk di mana yang lebih besar dari dua istilah adalah beberapa nilai tetap. Jumlah dalam setiap gonmon adalah kubus, jadi jumlah seluruh tabel adalah jumlah kubus.

Secara visual menyatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah kubus.

Dalam literatur matematika yang lebih baru, (Edmonds 1957) memberikan sebuah bukti menggunakan penjumlahan oleh bagian-bagian . (Stein 1971) menggunakan interpretasi penghitungan persegi panjang pada bilangan-bilangan ini untuk membentuk bukti geometris pada identitas (lihat juga Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); ia mengamati bahwa itu juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) dengan induksi, dan menyatakan bahwa (Toeplitz 1963) memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". (Kanim 2004) memberikan bukti visual murni, (Benjamin & Orrison 2002) memberikan dua bukti tambahan, dan (Nelsen 1993) memberikan tujuh bukti geometris.

Generalisasi

Hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus berlaku untuk semua jumlah bereksponen, yaitu bahwa jumlah bereksponen ganjil adalah polinomial dalam bilangan segitiga. Ini disebut polinomial Faulhaber, di mana jumlah kubik adalah contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki jumlah bereksponen satu kuadrat dari yang lain (Edmonds 1957). .

(Stroeker 1995) mempelajari kondisi yang lebih umum di mana jumlah urutan kubus berturut-turut membentuk kuadrat. (Garrett & Hummel 2004) dan (Warnaar 2004) mempelajari analog polinomial dari rumus bilangan segitiga triangular, di mana deret pada polinomial menambah kuadrat dari polinomial lain.

Sumber

Benjamin, Arthur T.; Orrison, M. E. (2002), "Two quick combinatorial proofs of $\textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$ " (PDF), College Mathematics Journal, 33 (5): 406–408, doi:10.2307/1559017, JSTOR 1559017 .
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (2006), "Summing cubes by counting rectangles" (PDF), College Mathematics Journal, 37 (5): 387–389, doi:10.2307/27646391, JSTOR 27646391 .
Bressoud, David (2004), Calculus before Newton and Leibniz, Part III (PDF), AP Central .
Edmonds, Sheila M. (1957), "Sums of powers of the natural numbers", The Mathematical Gazette, 41: 187–188, doi:10.2307/3609189, JSTOR 3609189, MR 0096615
Garrett, Kristina C.; Hummel, Kristen (2004), "A combinatorial proof of the sum of $q$ -cubes", Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), Research Paper 9, MR 2034423 .
Gulley, Ned (March 4, 2010), Shure, Loren, ed., Nicomachus's Theorem, Matlab Central .
Kanim, Katherine (2004), "Proofs without words: The sum of cubes—An extension of Archimedes' sum of squares", Mathematics Magazine, 77 (4): 298–299, doi:10.2307/3219288, JSTOR 3219288 .
Nelsen, Roger B. (1993), Proofs without Words, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7 .
Pengelley, David (2002), "The bridge between continuous and discrete via original sources", Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF), National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden .
Row, T. Sundara (1893), Geometric Exercises in Paper Folding, Madras: Addison, pp. 47–48 .
Stein, Robert G. (1971), "A combinatorial proof that $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$ ", Mathematics Magazine, 44 (3): 161–162, doi:10.2307/2688231, JSTOR 2688231 .
Stroeker, R. J. (1995), "On the sum of consecutive cubes being a perfect square", Compositio Mathematica, 97 (1–2): 295–307, MR 1355130 .
Toeplitz, Otto (1963), The Calculus, a Genetic Approach, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9 .
Warnaar, S. Ole (2004), "On the $q$ -analogue of the sum of cubes", Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), Note 13, MR 2114194 .
Wheatstone, C. (1854), "On the formation of powers from arithmetical progressions" (PDF), Proceedings of the Royal Society of London, 7: 145–151, doi:10.1098/rspl.1854.0036 .