Persamaan diferensial parsial

Persamaan panas

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

Pengantar

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,$

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

$u(x,y)=f(y),\,$

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

${\frac {du}{dx}}=0\,$

yang memiliki solusi

$u(x)=c,\,$

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi $\!f(y)$ dapat ditentukan jika $\!u$ dispesifikasikan pada sebuah garis $\!x=0$.

Keberadaan dan keunikan

Meskipun masalah keberadaan dan keunikan solusi pada persamaan diferensial biasa memiliki jawaban yang sangat memuaskan menggunakan Teorema Picard-Lindelöf, yaitu kasus untuk persamaan diferensial parsial. Teorema Cauchy-Kowalevski menyatakan bahwa Masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial yang koefisien adalah Fungsi analitik dalam fungsi yang tidak diketahui. Meskipun hasil ini mungkin menyelesaikan keberadaan dan keunikan solusi, contoh persamaan diferensial parsial linier koefisiennya memiliki turunan dari semua pesanan tetapi tidak memiliki solusi sama sekali: lihat Lewy (1957).

Contoh perilaku patologis adalah urutan (tergantung pada n) Masalah Cauchy untuk Persamaan Laplace

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,$

dengan syarat batas

${\begin{aligned}u(x,0)&=0,\\{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)&={\frac {\sin nx}{n}},\end{aligned}}$

darimana n adalah bilangan bulat.

Turunan dari u adalah hubungan dengan y yang mendekati nol dalam x, tetapi solusinya adalah

$u(x,y)={\frac {\sinh ny\sin nx}{n^{2}}}.$

Notasi

$u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$

$u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).$

${\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u$

atau

${\ddot {u}}=c^{2}\Delta u$

daru Δ adalah Operator Laplace.

Klasifikasi

- Dalam pengembangan -