Rumus Vieta

Dalam matematika,Rumus Vieta adalah rumus antara koefisien pada polinomial bersama angka dan hasil nilai akarnya. Ditemukan oleh François Viète rumus tersebut digunakan secara khusus dalam aljabar.

Rumus Vieta dalam Persamaan Kuadrat

Definisi Rumus Vieta dalam Persamaan Kuadrat:

Jika diberikan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ jika persamaannya $f(x)=0$ dalam akar kuadrat $r_{1}$ dan $r_{2}$, yaitu

$r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.\ _{\square }$

Bukti dari pernyataan tersebut akan diberikan di akhir bagian.

Jika rumus persamaan kuadrat dirumuskan $b^{2}-4acb$

${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {-b}{a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right)={\frac {(\alpha +\beta )\pm |\alpha -\beta |}{2}}=\alpha {\text{ or }}\beta ,$

Diatas merupakan rumus persamaan kuadrat yang membuktikan rumus kuadrat.

Rumus Vieta dalam Kuadrat

- Dalam pengembangan -

Rumus utama

Untuk nilai polinomial dengan hasil n

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

Rumus tersebut bersama teorema fundamental aljabar hanya memiliki nila n berbeda dengan akar kompleks r₁, r₂, ..., r_n . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar r₁, r₂, ..., r_n sebagai berikut:

${\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\dots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}},$

Generalisasi cincin

Rumus Vieta sering digunakan hubungan dengan polinomial hasil koefisien dalam domain integral R . Setelah itu hasil quotients $a_{i}/a_{n}$ memiliki cincin pecahan R dan akarnya $r_{i}$ diambil dalam ekstensi tertutup aljabar. Biasanya,

RumusR adalah cincin bilangan bulat, bidang pecahan adalah bidang bilangan rasional dan bidang yang ditutup secara aljabar adalah bidang bilangan kompleks .

Contoh

Rumus Vieta dapat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar kuadrat dari $r_{1},r_{2}$ dari polinomial kuadrat $P(x)=ax^{2}+bx+c$, yaitu

$r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.$

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari nilai P; lihat Persamaan kuadrat § Rumus Vieta.

Akar kuadrat dari $r_{1},r_{2},r_{3}$ dari polinomial kubik $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, yaitu

$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

Pemecahan Masalah Rumus Vieta

Menunjukkan bahwa

$\sum _{j=1}^{n}\cot ^{2}{\Big (}{\tfrac {j\pi }{2n+1}}{\Big )}\;=\;{\tfrac {1}{3}}n(2n-1)$

untuk bilangan bulat apa pun $n\geq 1$

Dengan ini yang pertama dengan menggunakan teorema De-Moivre untuk bilangan bulat positif m:

${\begin{aligned}(\cos x+i\sin x)^{m}&=\cos mx+i\sin mx\\{\frac {\cos mx+i\sin mx}{\sin ^{m}x}}&=(\cot x+i)^{m}\\&=\cot ^{m}x+{\binom {m}{1}}\cot ^{m-1}(x)i+\cdots +{\binom {m}{m-1}}\cot(x)i^{m-1}+i^{m}.\end{aligned}}$

Saat dapat mengelompokkan RHS sebagai berikut sejak kami memilikinya $i^{2}=-1$:

${\text{RHS}}=\left(\cot ^{m}x-{\binom {m}{2}}\cot ^{m-2}x+\cdots \right)+i\left({\binom {m}{1}}\cot ^{m-1}x-{\binom {m}{3}}\cot ^{m-3}x+\cdots \right).$

Menyamakan bagian imajiner di kiri dan kanan, kita dapatkan

${\binom {m}{1}}\cot ^{m-1}x-{\binom {m}{3}}\cot ^{m-3}x+\cdots ={\frac {\sin mx}{\sin ^{m}x}}.$

Membiarkan nilai $\cot ^{2}x=u,$ maka persamaannya dalam u dan jumlah akarnya diberikan oleh $\displaystyle {\frac {\binom {2n+1}{3}}{\binom {2n+1}{1}}}$ seperti yang kita ketahui dari formula Vieta. Sejak nilai $x={\frac {j\pi }{2n+1}},x=2n+1$

${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}\cot ^{2}{\frac {j\pi }{2n+1}}&={\frac {\binom {2n+1}{3}}{\binom {2n+1}{1}}}\\&={\frac {1}{6}}2n(2n-1)\\&={\frac {1}{3}}n(2n-1).\ _{\square }\end{aligned}}$

Keterangan

Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan memperluas persamaan:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})$

(yang benar yaitu nilai $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ apakah semua akar dari polinomial ini), mengalikan faktor-faktor dari sisi kanan, dan mengidentifikasi koefisien dari masing-masing pangkat $x.$

Secara formal, jika ada yang mengembang pada nilai $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ istilahnya adalah nilai $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ darimana nilai $b_{i}$ adalah 0 atau 1, sesuai dengan apakah $r_{i}$ termasuk dalam produk atau tidak, dan k adalah jumlah pada nilai $r_{i}$ hal yang ini tidak seharusnya digunakan, jadi jumlah total faktor dalam produk adalah n (dengan perhitungan $x^{k}$ dengan keserbaragaman k) sebagaimana adanya nilai n pilihan biner (yang termasuk perhitungan $r_{i}$ atau x), dan $2^{n}$ istilah tersebut dapat dicari dalam bentuk geometris, hal ini dapat memahami sebagai simpul dari kubusganda. Mengelompokkan persamaan tersebut berdasarkan derajat menghasilkan polinomial simetris dasar di $r_{i}$ untuk nilai x^k, mendapatkan semua produk lipat pada nilai k yang berbeda dari $r_{i}.$

Sejarah

Seperti yang tercermin dalam namanya, rumus tersebut ditemukan oleh ahli matematika asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat ahli matematika asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar nyata positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard was] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien kekuatan dari jumlah akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk sum.

Referensi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Teorema Viète", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan", Bulanan Matematika Amerika, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 
• Vinberg, E. B. (2003), Kursus aljabar, American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4 

• Djukić, Dušan; et al. (2006), Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6