Eksponensiasi

"Exponent" beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Exponent (disambiguasi).

Eksponensiasi adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai bⁿ, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponen atau pangkat n. Ketika n adalah bilangan bulat positif, eksponensiasi adalah perkalian berulang dari basis: yaitu, bⁿ adalah produk dari mengalikan basis n:

Grafik dari y = b^x untuk beberapa basis b: basis 10 (hijau), basis e (merah), basis 2 (biru), dan basis 12 (cyan). Setiap kurva melalui titik (0, 1) karena setiap bilangan bukan nol dipangkatkan 0 adalah 1. Pada x = 1, nilai y sama dengan basis karena setiap bilangan dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.

$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$

Dalam kasus itu, bⁿ disebut pangkat n dari b, atau b dipangkatkan n.

Eksponensiasi digunakan secara luas di berbagai bidang, termasuk ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer, dengan aplikasi seperti bunga berbunga, pertumbuhan penduduk, kinetika kimia, perilaku gelombang, dan kriptografi kunci publik.

Latar belakang dan terminologi

Ekspresi b² = b·b disebut square dari b karena area suatu bujursangkar dengan panjang sisi b adalah b². Diucapkan "b kuadrat" atau "b pangkat dua" (bahasa Inggris: b squared).

Ekspresi b³ = b·b·b disebut cube dari b karena volume suatu kubus dengan panjang sisi b adalah b³. Diucapkan "b pangkat tiga" (bahasa Inggris: b cubed).

Eksponen menyatakan berapa banyak salinan dari basis yang dilipatgandakan atau dikalikan bersama-sama.

Misalnya, 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian berulang, karena eksponennya adalah 5. Di sini, 3 adalah basis, 5 adalah eksponen, dan 243 adalah (hasil) pangkat atau, lebih spesifik, pangkat lima dari 3, 3 dipangkatkan lima atau 3 pangkat lima (bahasa Inggris: 3 to the power of 5).

Kata "dipangkatkan" biasanya disingkat hanya menjadi "pangkat", sehingga 3⁵ biasanya diucapkan "tiga pangkat lima" (bahasa Inggris: three to the fifth atau three to the five). Eksponensiasi bⁿ dapat dibaca b dipangkatkan n kali, atau b dipangkatkan n, atau b dipangkatkan dengan eksponen n, atau singkatnya b pangkat n (bahasa Inggris: b to the n).

Eksponensiasi dapat digeneralisasi dari eksponen integer ke jenis-jenis umum bilangan lainnya.

Kata "eksponen" (exponent) diperkenalkan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.

Notasi eksponensiasi modern diperkenalkan oleh René Descartes dalam karyanya Géométrie pada tahun 1637.

Eksponen bilangan bulat

Bilangan $x$ disebut bilangan pokok, dan bilangan $y$ disebut eksponen. Sebagai contoh, pada $2^{3}$, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung $2^{3}$ seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$. Hasilnya adalah $2\cdot 2\cdot 2=8$. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

• $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
• $x^{2}=x\cdot {}x$
• $1^{x}=1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan $a^{2}$. Sehingga

$x^{2}$ adalah persegi dari $x$

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan $a^{3}$. Sehingga

$x^{3}$ adalah kubik $x$

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung invers bilangan pokok. Sehingga:$x^{-1}={\frac {1}{x}}$ Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

$2^{-3}=({\frac {1}{2}})^{3}={\frac {1}{8}}$

Jika eksponen sama dengan ${\frac {1}{2}}$ hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Contoh:

$4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Dengan cara yang sama, jika eksponen ${\frac {1}{n}}$ hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Jika eksponen merupakan bilangan rasional ${\frac {p}{q}}$, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

$a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

seperti ini:$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

• $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
• $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
• ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
• $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
• $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
• ${\sqrt[{s}]{a^{r}}}=a^{\frac {r}{s}}$
• $a^{1}=a$
• $a^{0}=1,\quad a\neq 0$: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh: $I^{2}=I\cdot I=I$.

Daftar eksponensial bilangan bulat

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1,024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049
4	16	64	256	1,024	4,096	16,384	65,536	262,144	1,048,576
5	25	125	625	3,125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625
6	36	216	1,296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176
7	49	343	2,401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249
8	64	512	4,096	32,768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824
9	81	729	6,561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401
10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000

Lihat pula

• Peluruhan eksponensial

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.  (Indonesia)

Pranala luar

• sci.math FAQ: What is 0⁰?
• (Inggris) exponentiation (ID: exponensiasi) di PlanetMath.
• Laws of Exponents with derivation and examples
• What does 0^0 (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com