Geometri birasional

Dalam matematika, geometri birasional adalah bidang geometri aljabar yang tujuannya adalah untuk menentukan ketika dua varietas aljabar isomorfik di luar himpunan bagian berdimensi lebih rendah. Ini berarti mempelajari pemetaan yang diberikan oleh fungsi rasional daripada polinomial; peta mungkin gagal untuk didefinisikan di mana fungsi rasional memiliki kutub.

Lingkaran secara birasional setara dengan garis. Satu peta birasional di antara mereka adalah proyeksi stereografik, digambarkan di sini.

Peta birasional

Peta rasional

Peta rasional dari satu varietas (dipahami sebagai tak tersederhanakan) $X$ ke variasi lain $Y$, ditulis sebagai panah putus-putus $X--\to Y$, didefinisikan sebagai morfisme dari subset terbuka tidak kosong $U\subset X$ to $Y$. Menurut definisi topologi Zariski yang digunakan dalam geometri aljabar, subset terbuka tidak kosong $U$ selalu padat dalam $X$, sebenarnya merupakan pelengkap dari subset berdimensi lebih rendah. Secara konkrit, peta rasional dapat dituliskan dalam koordinat menggunakan fungsi rasional.

Peta birasional

Peta birasional dari X ke Y adalah peta rasional f: X ⇢ Y sedemikian rupa sehingga ada peta rasional Y ⇢ X terbalik dengan f . Peta birasional menginduksi isomorfisme dari subset terbuka tidak kosong dari X ke subset terbuka tidak kosong dari Y.

Kasus khusus adalah morfisme birasional f: X → Y, berarti morfisme yang birasional. Artinya, f didefinisikan di mana-mana, tetapi kebalikannya mungkin tidak. Biasanya, ini terjadi karena morfisme birasional mengontrak beberapa subvarietas X untuk ditunjukkan Y.

Kesetaraan dan rasionalitas birasional

Variasi X dikatakan rasional jika birasional untuk menyatakan ruang (atau ekuivalen, ke ruang proyektif) dari beberapa dimensi. Rasionalitas adalah sifat yang sangat alami: itu berarti bahwa X dikurangi beberapa subset dimensi lebih rendah dapat diidentifikasi dengan ruang affine dikurangi beberapa subset dimensi lebih rendah.

Kesetaraan birasional dari kerucut bidang

Misalnya lingkaran $X$ dengan persamaan $x^{2}+y^{2}-1=0$ di bidang affine adalah kurva rasional, karena ada peta rasional f: $\mathbb {A} ^{1}$ ⇢ X diberikan oleh

$f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),$

yang memiliki rasional invers g: X ⇢ $\mathbb {A} ^{1}$ maka oleh karena itu

$g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.$

Menerapkan peta f dengan t a bilangan rasional memberikan konstruksi sistematis Triple Pythagoras.

Peta rasional $f$ tidak ditentukan pada lokus di mana $1+t^{2}=0$. Jadi, pada garis affine yang kompleks $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$, $f$ adalah morfisme pada subset terbuka $U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}$, $f:U\to X$. Begitu pula dengan peta rasional g: X ⇢ $\mathbb {A} ^{1}$ tidak didefinisikan pada saat itu $(0,-1)$ in $X$.

Kesetaraan birasional dari kuadrat halus dan Pⁿ

Secara umum, kuadris (derajat 2) permukaan hiper yang halus X dari setiap dimensi n adalah rasional, dengan proyeksi stereografik. (Untuk X sebuah kuadrik di atas bidang k , X harus diasumsikan memiliki k-titik rasional; ini otomatis jika k ditutup secara aljabar.) Untuk menentukan proyeksi stereografik, misalkan p menjadi titik di X. Kemudian peta birasional dari X ke ruang proyektif $\mathbb {P} ^{n}$ garis melalui p diberikan dengan mengirimkan titik q dalam X ke garis melalui p dan q . Ini adalah kesetaraan birasional tetapi bukan isomorfisme varietas, karena gagal didefinisikan di mana q = p (dan peta terbalik gagal didefinisikan pada garis-garis itu melalui p yang merupakan X).

Kesetaraan birasional permukaan kuadrat

Segre embedding memberikan embedding $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}$ diberikan oleh

$([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].$

Gambar tersebut adalah permukaan kuadris $x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}$ pada $\mathbb {P} ^{3}$. Itu memberikan bukti lain bahwa permukaan kuadrat ini rasional $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ jelas rasional, memiliki subset terbuka isomorfik $\mathbb {A} ^{2}$

Jumlah ⊗^kΩ¹ dan beberapa bilangan Hodge

Secara lebih umum, untuk setiap rendaman alami

$E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}$

daya tensor r - bundel kotangen Ω¹ dengan r ≥ 0, ruang vektor bagian global H⁰(X, E(Ω¹)) adalah invarian birasional untuk varietas proyektif halus. Secara khusus, bilangan Hodge

$h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})$

adalah invarian birasional dari X . (Kebanyakan nomor Hodge lainnya h^{p, q} bukanlah invarian birasional.)

Lihat pula

• Konjektur kelimpahan
• Lubang Klein
• Perendaman (matematika)

Referensi

• Abramovich, Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Włodarczyk, Jarosław (2002), "Torification and factorization of birational maps", Journal of the American Mathematical Society, 15 (3): 531–572, arXiv:math/9904135 , doi:10.1090/S0894-0347-02-00396-X, MR 1896232 
• Birkar, Caucher; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D.; McKernan, James (2010), "Existence of minimal models for varieties of log general type", Journal of the American Mathematical Society, 23 (2): 405–468, arXiv:math.AG/0610203 , Bibcode:2010JAMS...23..405B, doi:10.1090/S0894-0347-09-00649-3, MR 2601039 
• Clemens, C. Herbert; Griffiths, Phillip A. (1972), "The intermediate Jacobian of the cubic threefold", Annals of Mathematics, Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , doi:10.2307/1970801, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970801, MR 0302652 
• Debarre, Olivier (2001). Higher-Dimensional Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95227-7. MR 1841091. 
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-32792-9. MR 0507725. 
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. 
• Iskovskih, V. A.; Manin, Ju. I. (1971), "Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem", Matematicheskii Sbornik, Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode:1971SbMat..15..141I, doi:10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR 0291172 
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959 
• Mori, Shigefumi (1988), "Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds", Journal of the American Mathematical Society, 1 (1): 117–253, doi:10.2307/1990969, ISSN 0894-0347, JSTOR 1990969, MR 0924704