Kebebasan linear

Untuk ketergantungan linear variabel acak, lihat Kovarian.

Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear apabila masing-masingnya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain. Sekelompok vektor yang tidak memenuhi syarat ini dinamakan bergantung linier.

Linearly independent vectors in $\mathbb {R} ^{3}$

Linearly dependent vectors in a plane in $\mathbb {R} ^{3}$.

Sebagai contoh, dalam sebuah ruang vektor riil tiga dimensi $\mathbb {R} ^{3}$ kita bisa mengambil tiga vektor berikut:

${\begin{matrix}{\mbox{bebas linear}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}} ,{\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}} \\{\mbox{bergantung linear}}\\\end{matrix}}$

Tiga vektor pertama adalah bebas linear, namun vektor keempat sama dengan 9 kali vektor pertama ditambah 5 kali vektor kedua ditambah 4 kali vektor ketiga, sehingga keempat vektor tersebut bergantung linear. Kebebasan linear adalah sifat sekelompok vektor, bukan sifat vektor tunggal. Kita dapat menulis vektor pertama sebagai kombinasi linear tiga vektor berikutnya.

$\mathbf {v} _{1}=\left(-{\frac {5}{9}}\right)\mathbf {v} _{2}+\left(-{\frac {4}{9}}\right)\mathbf {v} _{3}+{\frac {1}{9}}\mathbf {v} _{4}.$

Definisi formal

Sebuah himpunan bagian dari ruang vektor V disebut bergantung linear bila ada sejumlah terhingga vektor berbeda-beda v₁, v₂, ..., v_n dalam S dan skalar a₁, a₂, ..., a_n, yang tidak semuanya nol, sehingga

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Perhatikan bahwa nol di ruas kanan adalah vektor nol, bukan bilangan nol.

Bila persamaan tersebut hanya dipenuhi oleh skalar-skalar nol, vektor tersebut disebut bebas linear.

Bebas linear dapat didefinisikan sebagai berikut: suatu himpunan vektor v₁, v₂, ..., v_n dikatakan bebas linear jika kombinasi linear nol atas vektor-vektor tersebut hanya dipenuhi oleh solusi trivial; yaitu jika a₁,a₂,...,a_n adalah skalar sehingga

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$

jika dan hanya jika a_i = 0 untuk semua i = 1, 2, ..., n.

Pranala luar

• Fungsi takbebas linear di WolframMathWorld