Kurva eliptik

Artikel ini bukan mengenai Elips.

Dalam matematika, kurva eliptis adalah kurva aljabar yang proyektif dan halus, bergenus satu, serta memiliki titik O tertentu. Tiap kurva eliptis dalam sebuah medan yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah kurva aljabar datar yang memenuhi persamaan

Katalog kurva eliptis. Daerah yang ditampilkan adalah [−3, 3]². Untuk (a, b) = (0, 0), fungsi ini tidak halus sehingga tidak termasuk kurva eliptis.

$y^{2}=x^{3}+ax+b.$

Kurva eliptis harus tidak memiliki titik tunggal, yakni tidak memiliki taring atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan $4a^{3}+27b^{2}\neq 0.$

Kurva eliptis bukanlah elips: lihat integral eliptis untuk asal mula istilahnya. Secara topologi, kurva eliptis kompleks adalah torus, sedangkan elips kompleks adalah bola.

Kurva eliptis dalam bilangan riil

Grafik kurva y² = x³ − x dan y² = x³ − x + 1

Dalam konteks ini, kurva eliptis adalah lengkung bidang yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

dengan a dan b bilangan riil.

Definisi kurva eliptis juga mewajibkan kurva untuk tidak memiliki titik tunggal. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki taring, tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku jika dan hanya jika diskriminannya

$\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})$

tidak sama dengan nol.

Grafik (riil) suatu kurva yang tidak memiliki titik tunggal memiliki dua komponen jika diskriminannya positif dan satu komponen jika diskriminannya negatif. Contohnya, pada grafik di samping, diskriminan kasus I adalah 64 dan diskriminan kasus II adalah -368.

Kegunaan

• Kriptografi kurva eliptis

Algoritme yang memakai kurva eliptis

Kurva eliptis dalam medan berhingga dipakai dalam kriptografi dan juga faktorisasi prima. Biasanya, algoritme berikut adalah algoritme yang sudah ada, tetapi memakai sifat-sifat kurva eliptis.

• Kriptografi kurva eliptis
• Diffie–Hellman kurva eliptis
• Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptis
• Faktorisasi kurva eliptis Lenstra

Lihat pula

• Aljabar eliptis
• Perkalian titik kurva eliptis
• Permukaan eliptis
• Rumus Riemann–Hurwitz
• Teorema Nagell–Lutz

Daftar pustaka

• I. Blake; G. Seroussi; N. Smart (2000). Elliptic Curves in Cryptography. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-5216-5374-6. 
• Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). "Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic". Prime Numbers: A Computational Perspective (edisi ke-1). Springer-Verlag. hlm. 285–352. ISBN 0-3879-4777-9. 
• Cremona, John (1997). Algorithms for Modular Elliptic Curves (edisi ke-2). Cambridge University Press. ISBN 0-5215-9820-6. 
• Darrel Hankerson, Alfred Menezes, dan Scott Vanstone (2004). Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer. ISBN 0-3879-5273-X. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Hellegouarch, Yves (2001). Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles. Paris: Dunod. ISBN 978-2-10-005508-1. 
• Husemöller, Dale (2004). Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 111 (edisi ke-2). Springer. ISBN 0-3879-5490-2. 
• Kenneth Ireland; Michael I. Rosen (1998). "Chapter 18 dan 19". A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 84 (edisi ke-2 revisi). Springer. ISBN 0-3879-7329-X. 
• Knapp, Anthony W. (2018) [1992]. Elliptic Curves. Mathematical Notes. 40. Princeton University Press. ISBN 978-0-6911-8690-0. 
• Koblitz, Neal (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. 97 (edisi ke-2). Springer-Verlag. ISBN 0-3879-7966-2. 
• Koblitz, Neal (1994). "Chapter 6". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114 (edisi ke-2). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94293-9. 
• Serge Lang (1978). Elliptic curves: Diophantine analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 231. Springer-Verlag. ISBN 3-5400-8489-4. 
• Henry McKean; Victor Moll (1999). Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic. Cambridge University Press. ISBN 0-5216-5817-9. 
• Ivan Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh Montgomery (1991). "Section 5.7". An introduction to the theory of numbers (edisi ke-5). John Wiley. ISBN 0-4715-4600-3. 
• Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 106. Springer-Verlag. ISBN 0-3879-6203-4. 
• Silverman, Joseph H. (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-3879-4328-5. 
• Silverman, Joseph H.; John Tate (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag. ISBN 0-3879-7825-9. 
• Tate, John (1974). "The arithmetic of elliptic curves". Inventiones Mathematicae. 23 (3–4): 179–206. Bibcode:1974InMat..23..179T. doi:10.1007/BF01389745. 
• Washington, Lawrence (2003). Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-365-0.