Grup Abelian

Dalam matematika, grup Abelian, juga disebut grup komutatif, adalah grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya. Artinya, operasi grup adalah komutatif. Dengan tambahan sebagai operasi, bilangan bulat dan bilangan riil membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh-contoh ini. Kelompok Abelian dinamai ahli matematika awal abad ke-19 Niels Henrik Abel.^[1]

Konsep grup abelian mendasari banyak struktur aljabar fundamental, seperti bidang, gelanggang, ruang vektor, dan aljabar. Teori kelompok abelian umumnya lebih sederhana daripada teori rekan non-abelian, dan grup abelian terbatas sangat dipahami dan sepenuhnya diklasifikasikan.

Definisi

Struktur grup
	Totalitas^α	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Grup abelian adalah himpunan, $A$ , bersama dengan operasi $\cdot$ yang menggabungkan dua elemen $a$ dan $b$ dari $A$ untuk membentuk elemen lain dari $A,$ dilambangkan $a\cdot b$ . Simbol $\cdot$ adalah placeholder umum untuk operasi yang diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi, $(A,\cdot )$ , harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai aksioma grup abelian :

Penutupan: Untuk $a$ , $b$ pada $A$ , hasil operasi $a\cdot b$ juga dengan $A$ .
Asosiatif: Untuk $a$ , $b$ , dan $c$ di $A$ , persamaan $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
Elemen identitas: Terdapat elemen $e$ di $A$ , sehingga untuk semua elemen $a$ pada $A$ , persamaan $e\cdot a=a\cdot e=a$ .
Elemen invers: Untuk $a$ pada $A$ denga elemen $b$ di $A$ sehingga $a\cdot b=b\cdot a=e$ , dimana $e$ adalah elemen identitas.
Komutatif: Untuk $a$ , $b$ pada $A$ , $a\cdot b=b\cdot a$ .

Grup yang operasi grupnya tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

Fakta

Notasi

Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

Konvensi	Operasi	Identitas	Powers	Invers
Penambahan	$x+y$	0	$nx$	$-x$
Perkalian	$x\cdot y$ atau $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk modul dan gelanggang. Notasi aditif juga dapat digunakan untuk menekankan bahwa kelompok tertentu adalah abelian, setiap kali kelompok abelian dan non-abelian dianggap, beberapa pengecualian penting adalah dekat gelanggang dan grup terurut sebagian, di mana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

Tabel perkalian

Untuk memverifikasi bahwa grup hingga adalah abelian, tabel (matriks), yang dikenal sebagai tabel Cayley, dapat dibuat dengan cara yang mirip dengan tabel perkalian. Jika grup tersebut $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ under the operasi $\cdot$ , ke $(i,j)$ entri tabel ini berisi produk $g_{i}\cdot g_{j}$ .

Kelompok tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel ini simetris dengan diagonal utama. Ini benar karena grup tersebut adalah abelian iff $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ untuk $i,j=1,...,n$ , jika di luar $(i,j)$ entri tabel sama dengan $(j,i)$ entri untuk $i,j=1,...,n$ , yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

Contoh

Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan $+$ , dilambangkan $(\mathbb {Z} ,+)$ , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat apa pun untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, nol adalah identitas aditif, setiap integer $n$ memiliki additive inverse, $-n$ , dan operasi penambahan bersifat komutatif karena $n+m=m+n$ untuk dua bilangan bulat $m$ dan $n$ .
Setiap grup siklik $G$ adalah abelian, karena jika $x$ , $y$ dengan $G$ , maka $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ . Jadi bilangan bulat, $\mathbb {Z}$ , membentuk grup abelian dengan penambahan, seperti halnya bilangan bulat modulo $n$ , $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .
Setiap gelanggang adalah grup abelian sehubungan dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen yang dapat dibalik, atau unit, membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan real bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, jadi setiap subgrup memunculkan grup hasil bagi. Subkelompok, hasil, dan jumlah langsung dari gruo abelian. Grup abelian sederhana berhingga persis merupakan grup siklik dari prime urutan.^[2]
Konsep grup abelian dan $\mathbb {Z}$ - modul setuju. Lebih khusus lagi, setiap $\mathbb {Z}$ -module adalah grup abelian dengan operasi penjumlahannya, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat $\mathbb {Z}$ dengan cara yang unik.

Secara umum, matriks, bahkan matriks yang dapat dibalik, jangan membentuk kelompok abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa kelompok matriks adalah kelompok abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup $2\times 2$ pada matriks rotasi.

Catatan sejarah

Camille Jordan menamai grup abelian setelah Norsk matematikawan Niels Henrik Abel, karena Abel menemukan bahwa komutatifitas kelompok polinomial menyiratkan bahwa akar polinomial dapat dihitung dengan menggunakan akar.^[3]^:144–145

Sifat

Jika $n$ adalah bilangan asli dan $x$ adalah elemen dari grup abelian $G$ yang ditulis secara aditif, kemudian $nx$ bisa didefinisikan sebagai $x+x+\cdots +x$ ( $n$ ) dan $(-n)x=-(nx)$ . Dengan cara ini, $G$ menjadi modul di atas cincin $\mathbb {Z}$ dari bilangan bulat. Faktanya, modul lebih dari $\mathbb {Z}$ dapat diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang kelompok abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama $\mathbb {Z}$ ) sering dapat digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas yang merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara terbatas, teorema ini menjamin bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak kelompok bentuk yang tak terhingga $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ untuk $p$ prime, dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan $\mathbb {Z}$ .

Jika $f,g:G\to H$ adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah mereka $f+g$ , ditentukan oleh $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , sekali lagi adalah homomorfisme. (Ini tidak benar jika $H$ adalah grup non-abelian.) Himpunan ${\text{Hom}}(G,H)$ dari semua homomorfisme grup dari $G$ hingga $H$ oleh karena itu merupakan grup abelian dalam dirinya sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat . Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup.^[4]^:49–50 Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subkelompok aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak terhingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (ini hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat $Z(G)$ dari grup $G$ adalah himpunan elemen yang bepergian dengan setiap elemen $G$ . Grup $G$ adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya $Z(G)$ . Pusat dari grup $G$ selalu merupakan karakteristik subkelompok abelian dari $G$ . Jika grup hasil bagi $G/Z(G)$ grup dengan pusat siklik lalu $G$ adalah abelian.^[5]

Grup abelian hingga

Grup siklik dari bilangan bulat modulo $n$ , $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , termasuk di antara contoh pertama kelompok. Ternyata kelompok abelian berhingga yang sewenang-wenang adalah isomorfik terhadap sejumlah langsung kelompok siklik berhingga dari tatanan kekuatan utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian yang lengkap. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 dari Georg Frobenius dan Ludwig Stickelberger dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Setiap kelompok orde utama isomorfik ke kelompok siklik dan oleh karena itu abelian. Setiap kelompok yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian.^[6] Faktanya, untuk setiap bilangan prima $p$ ada (hingga isomorfisme) tepat dua kelompok orde $p^{2}$ , yaitu $\mathbb {Z} _{p^{2}}$ and $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$ .

Klasifikasi

Teorema fundamental dari kelompok abelian hingga menyatakan bahwa setiap kelompok abelian hingga $G$ dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prime dengan urutan pangkat; itu juga dikenal sebagai teorema dasar untuk kelompok abelian hingga.^[7] Ini digeneralisasikan oleh teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; ini pada gilirannya mengakui banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-kelompok modern sampai kemudian, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Gruo siklik $\mathbb {Z} _{mn}$ dengan urutan $mn$ isomorfik dengan jumlah langsung dari $\mathbb {Z} _{m}$ dan $\mathbb {Z} _{n}$ jika dan hanya jika $m$ dan $n$ adalah coprime. Oleh karena itu, setiap grup abelian berhingga $G$ adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

\bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}

dengan salah satu cara kanonik berikut:

bilangan $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ adalah kekuatan bilangan prima (tidak harus berbeda),
atau $k_{1}$ membagi $k_{2}$ , yang membagi $k_{3}$ , dan seterusnya hingga $k_{u}$ .

Sebagai contoh, $\mathbb {Z} _{15}$ dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik berorde 3 dan 5: $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian ordo 15, yang mengarah pada kesimpulan luar biasa bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk $\mathbb {Z} _{8}$ (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8), $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ .

Lihat juga daftar grup kecil untuk grup abelian hingga berorde 30 atau kurang.

Automorfisme

Seseorang dapat menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan $G$ . Untuk melakukan ini, kita menggunakan fakta bahwa jika $G$ membagi sebagai jumlah langsung $H\oplus K$ dari subgrup coprime urutan, lalu ${\text{Aut}}(H\oplus K)\cong {\text{Aut}}(H)\oplus {\text{Aut}}(K)$ .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari $G$ itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow $p$ subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat $p$ ). Perbaiki bilangan prima $p$ dan anggaplah eksponen $e_{i}$ dari faktor siklik dari subgrup Sylow $p$ disusun dalam urutan yang meningkat:

e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}

untuk beberapa $n>0$ . Seseorang perlu menemukan automorfisme

\mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.

Satu kasus khusus adalah ketika $n=1$ , sehingga hanya ada satu faktor daya utama siklik pada Sylow subgrup $p$ dengan $P$ . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik terbatas dapat digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan $n$ sewenang-wenang tetapi $e_{i}=1$ untuk $1\leq i\leq n$ . Di sini, seseorang sedang mempertimbangkan $P$ menjadi bentuk

\mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi $n$ di atas bidang hingga elemen $p$ pada $\mathbb {F} _{p}$ . Oleh karena itu, automorfisme subkelompok ini diberikan oleh transformasi linier yang dapat dibalik, jadi

\operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),

dimana ${\text{GL}}$ adalah grup linear umum yang sesuai. Ini dengan mudah terbukti memiliki keteraturan

\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).

Dalam kasus yang paling umum, di mana $e_{i}$ dan $n$ berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika seseorang mendefinisikan

d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\}

dan

c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}

lalu seseorang memilikinya secara khusus $k\leq d_{k}$ , $c_{k}\leq k$ , dan

\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.

Seseorang dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan pesanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

Catatan tentang tipografi

Di antara kata sifat matematika yang diturunkan dari nama diri dari seorang ahli matematika, Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil a, bukan huruf besar A, yang menunjukkan betapa konsep tersebut ada di mana-mana dalam matematika modern.^[8]

Lihat pula

Commutator subgroup – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
Abelianisasi – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
Kelompok dihedral urutan 6 – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya, grup non-abelian terkecil
Grup abelian dasar – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
Dualitas Pontryagin – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya

Catatan

^ Jacobson 2009, p. 41
^ 2012, p. 32.
^ D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145.
^ Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50.
^ Rose 2012, p. 48.
^ Rose 2012, p. 79.
^ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.
^ "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016.

Referensi

Cox, David (2004). Galois Theory. Wiley-Interscience. ISBN 9781118031339. MR 2119052.
Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36–I. Academic Press. MR 0255673.
Fuchs, László (1973). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36-II. Academic Press. MR 0349869.
Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (edisi ke-2nd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02371-X.
Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Automorphisms of finite abelian groups". American Mathematical Monthly. 114 (10): 917–923. arXiv:math/0605185  . Bibcode:2006math......5185H. doi:10.1080/00029890.2007.11920485. JSTOR 27642365.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (edisi ke-2nd). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8. Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
Szmielew, Wanda (1955). "Elementary properties of abelian groups" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 41 (2): 203–271. doi:10.4064/fm-41-2-203-271. MR 0072131. Zbl 0248.02049.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Abelian group", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] Jacobson 2009, p. 41

[2] 2012, p. 32.

[3] D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145.

[4] Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50.

[5] Rose 2012, p. 48.

[6] Rose 2012, p. 79.

[7] Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.

[8] "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016.

[1]

α

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]