Definisi limit (ε, δ)

{{

Artikel bermasalah

Ini adalah artikel yang memenuhi kriteria penghapusan cepat artikel berbahasa asing yang tidak diterjemahkan, dari proyek Wikimedia bernama . Lihat KPC A2.%5B%5BWP%3ACSD%23A2%7CA2%5D%5D%3A+Artikel+yang+tidak+diterjemahkanA2

Jika artikel ini tidak memenuhi syarat KPC, atau Anda ingin memperbaikinya, silakan hapus pemberitahuan ini, tetapi tidak dibenarkan menghapus pemberitahuan ini dari halaman yang Anda buat sendiri. Jika Anda membuat halaman ini tetapi Anda tidak setuju, Anda boleh mengeklik tombol di bawah ini dan menjelaskan mengapa Anda tidak setuju halaman itu dihapus. Silakan kunjungi halaman pembicaraan untuk memeriksa jika sudah menerima tanggapan pesan Anda.

Ingat bahwa artikel ini dapat dihapus kapan saja jika sudah tidak diragukan lagi memenuhi kriteria penghapusan cepat, atau penjelasan dikirim ke halaman pembicaraan Anda tidak cukup meyakinkan kami.

Kepada nominator: Tempatkan templat:

{{subst:db-foreign-notice|Definisi limit (ε, δ)|header=1}} ~~~~

pada halaman pembicaraan pembuat/pengunggah.

Kepada pengurus: artikel ini memiliki isi pada halaman pembicaraannya yang harus diperiksa sebelum dihapus.

Pengurus: periksa pranala balik, riwayat (beda), dan catatan sebelum dihapus. Periksa di Google.
Halaman ini terakhir disunting oleh 123569yuuift (kontribusi | log) pada 01:29, 22 Januari 2021 (UTC) (3 tahun lalu)

Kapanpun suatu titik x is within δ unit c, f(x) berada dalam ε unit L

Dalam kalkulus, (ε, δ)-definisi limit ("epsilon–delta definisi limit") adalah formalisasi dari pengertian limit. Konsep tersebut karena Augustin-Louis Cauchy, yang tidak pernah memberi nilai ($\varepsilon ,\delta$) definisi batas dalam Cours d'Analyse, tetapi kadang-kadang digunakan $\varepsilon ,\delta$ argumen dalam bukti. Ini pertama kali diberikan sebagai definisi formal oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817, dan pernyataan modern yang definitif akhirnya diberikan oleh Karl Weierstrass. Hal tersebut memberikan ketelitian pada gagasan informal berikut: ekspresi dependen f(x) mendekati nilai L, sebagai variabel x mendekati nilai c, bila f(x) dapat dibuat sedekat yang diinginkan L, dengan mengambil nilai x cukup dekat dengan nilai c.

Sejarah

Meskipun orang Yunani memeriksa proses pembatasan, seperti metode Babilonia, mereka mungkin tidak memiliki konsep yang mirip dengan modern limit. Ketentuan konsep limit muncul pada tahun 1600-an, ketika Pierre de Fermat berusaha menemukan kemiringan dari garis tangen pada suatu titik $x$ dari fungsi seperti $f(x)=x^{2}$. Menggunakan kuantitas bukan nol tetapi hampir nol, $E$, Fermat melakukan perhitungan berikut:

${\begin{aligned}{\text{lerengan}}&={\frac {f(x+E)-f(x)}{E}}\\&={\frac {(x+E)^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {x^{2}+2xE+E^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {2xE+E^{2}}{E}}=2x+E=2x.\end{aligned}}$

Kunci dari perhitungan di atas adalah sejak $E$ bukan nol, seseorang dapat membagi $f(x+E)-f(x)$ dari $E$, tapi sejak $E$ dekat dengan 0, $2x+E$ pada dasarnya $2x$. Kuantitas seperti $E$ disebut infinitesimal. Masalah dengan kalkulasi ini adalah bahwa para matematikawan zaman itu tidak dapat secara tepat mendefinisikan kuantitas dengan sifat $E$, meskipun itu adalah praktik umum untuk 'mengabaikan' kekuatan tak terbatas yang lebih tinggi dan ini tampaknya membuahkan hasil yang benar.

Masalah ini muncul kembali kemudian pada tahun 1600-an di pusat perkembangan kalkulus, karena perhitungan seperti Fermat penting untuk perhitungan turunan. Isaac Newton kalkulus yang dikembangkan pertama kali melalui jumlah yang sangat kecil yang disebut fluks. Dia mengembangkannya dengan mengacu pada gagasan tentang "momen waktu yang sangat kecil..." Namun, Newton kemudian menolak fluks demi teori rasio yang mendekati modern $\varepsilon {\text{–}}\delta$ definisi batas. Selain itu, Newton menyadari bahwa batas rasio jumlah yang hilang adalah bukan rasio itu sendiri

Contoh yang berhasil

Contoh 1

Kami akan tunjukkan itu

$\lim _{x\to 0}x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}=0$.

Kami membiarkan $\varepsilon >0$ be given. Kita perlu menemukan file $\delta >0$ seperti yang $|x-0|<\delta$ menyiratkan $\left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon$.

Karena sinus dibatasi di atas 1 dan di bawahnya oleh −1,

${\begin{aligned}\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|&=\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}\right|\\&=|x|\left|\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}\right|\\&\leq |x|.\end{aligned}}$

Demikianlah jika kita ambil $\delta =\varepsilon$, maka $|x|=|x-0|<\delta$ menyiratkan $\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|\leq |x|<\varepsilon$, yang melengkapi buktinya.

Contoh 2

Mari kita buktikan pernyataan itu

$\lim _{x\to a}x^{2}=a^{2}$

for any real number $a$.

mari $\varepsilon >0$ diberikan. Kami akan menemukan $\delta >0$ seperti yang $|x-a|<\delta$ menyiratkan $|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$.

Kami mulai dengan memfaktorkan:

$|x^{2}-a^{2}|=|(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.$

Kami menyadari itu $|x-a|$ adalah istilah yang dibatasi oleh $\delta$ jadi kita bisa mengandaikan batasan 1 dan kemudian memilih sesuatu yang lebih kecil dari itu $\delta$.

Jadi kami kira $|x-a|<1$. Setelah $|x|-|y|\leq |x-y|$ berlaku secara umum untuk bilangan real $x$ dan $y$, kita memiliki

$|x|-|a|\leq |x-a|<1.$

demikian,

$|x|<1+|a|.$

Jadi melalui pertidaksamaan segitiga,

$|x+a|\leq |x|+|a|<2|a|+1.$

Jadi, jika kita menganggapnya lebih jauh

$|x-a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}$

kemudian

$|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon .$

Singkatnya, kami menetapkan

$\delta =\min {\left(1,{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\right)}.$

Jadi jika $|x-a|<\delta$, setelah itu

${\begin{aligned}|x^{2}-a^{2}|&=|x-a||x+a|\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(|x+a|)\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(2|a|+1)\\&=\varepsilon .\end{aligned}}$