Definisi limit (ε, δ)

Dalam kalkulus, (ε, δ)-definisi limit ("epsilon–delta definisi limit") adalah formalisasi dari pengertian limit. Konsep tersebut karena Augustin-Louis Cauchy, yang tidak pernah memberi nilai ($\varepsilon ,\delta$) definisi batas dalam Cours d'Analyse, tetapi kadang-kadang digunakan $\varepsilon ,\delta$ argumen dalam bukti. Ini pertama kali diberikan sebagai definisi formal oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817, dan pernyataan modern yang definitif akhirnya diberikan oleh Karl Weierstrass. Hal tersebut memberikan ketelitian pada gagasan informal berikut: ekspresi dependen f(x) mendekati nilai L, sebagai variabel x mendekati nilai c, bila f(x) dapat dibuat sedekat yang diinginkan L, dengan mengambil nilai x cukup dekat dengan nilai c.

Kapanpun suatu titik x is within δ unit c, f(x) berada dalam ε unit L

Sejarah

Meskipun orang Yunani memeriksa proses pembatasan, seperti metode Babilonia, mereka mungkin tidak memiliki konsep yang mirip dengan modern limit. Ketentuan konsep limit muncul pada tahun 1600-an, ketika Pierre de Fermat berusaha menemukan kemiringan dari garis tangen pada suatu titik $x$ dari fungsi seperti $f(x)=x^{2}$. Menggunakan kuantitas bukan nol tetapi hampir nol, $E$, Fermat melakukan perhitungan berikut:

${\begin{aligned}{\text{lerengan}}&={\frac {f(x+E)-f(x)}{E}}\\&={\frac {(x+E)^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {x^{2}+2xE+E^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {2xE+E^{2}}{E}}=2x+E=2x.\end{aligned}}$

Kunci dari perhitungan di atas adalah sejak $E$ bukan nol, seseorang dapat membagi $f(x+E)-f(x)$ dari $E$, tapi sejak $E$ dekat dengan 0, $2x+E$ pada dasarnya $2x$. Kuantitas seperti $E$ disebut infinitesimal. Masalah dengan kalkulasi ini adalah bahwa para matematikawan zaman itu tidak dapat secara tepat mendefinisikan kuantitas dengan sifat $E$, meskipun itu adalah praktik umum untuk 'mengabaikan' kekuatan tak terbatas yang lebih tinggi dan ini tampaknya membuahkan hasil yang benar.

Masalah ini muncul kembali kemudian pada tahun 1600-an di pusat perkembangan kalkulus, karena perhitungan seperti Fermat penting untuk perhitungan turunan. Isaac Newton kalkulus yang dikembangkan pertama kali melalui jumlah yang sangat kecil yang disebut fluks. Dia mengembangkannya dengan mengacu pada gagasan tentang "momen waktu yang sangat kecil..." Namun, Newton kemudian menolak fluks demi teori rasio yang mendekati modern $\varepsilon {\text{–}}\delta$ definisi batas. Selain itu, Newton menyadari bahwa batas rasio jumlah yang hilang adalah bukan rasio itu sendiri

Contoh

Contoh 1

Kami akan tunjukkan itu

$\lim _{x\to 0}x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}=0$.

Kami membiarkan $\varepsilon >0$ be given. Kita perlu menemukan file $\delta >0$ seperti yang $|x-0|<\delta$ menyiratkan $\left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon$.

Karena sinus dibatasi di atas 1 dan di bawahnya oleh −1,

${\begin{aligned}\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|&=\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}\right|\\&=|x|\left|\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}\right|\\&\leq |x|.\end{aligned}}$

Demikianlah jika kita ambil $\delta =\varepsilon$, maka $|x|=|x-0|<\delta$ menyiratkan $\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|\leq |x|<\varepsilon$, yang melengkapi buktinya.

Contoh 2

Mari kita buktikan pernyataan itu

$\lim _{x\to a}x^{2}=a^{2}$

for any real number $a$.

mari $\varepsilon >0$ diberikan. Kami akan menemukan $\delta >0$ seperti yang $|x-a|<\delta$ menyiratkan $|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$.

Kami mulai dengan memfaktorkan:

$|x^{2}-a^{2}|=|(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.$

Kami menyadari itu $|x-a|$ adalah istilah yang dibatasi oleh $\delta$ jadi kita bisa mengandaikan batasan 1 dan kemudian memilih sesuatu yang lebih kecil dari itu $\delta$.

Jadi kami kira $|x-a|<1$. Setelah $|x|-|y|\leq |x-y|$ berlaku secara umum untuk bilangan real $x$ dan $y$, kita memiliki

$|x|-|a|\leq |x-a|<1.$

demikian,

$|x|<1+|a|.$

Jadi melalui pertidaksamaan segitiga,

$|x+a|\leq |x|+|a|<2|a|+1.$

Jadi, jika kita menganggapnya lebih jauh

$|x-a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}$

kemudian

$|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon .$

Singkatnya, kami menetapkan

$\delta =\min {\left(1,{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\right)}.$

Jadi jika $|x-a|<\delta$, setelah itu

${\begin{aligned}|x^{2}-a^{2}|&=|x-a||x+a|\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(|x+a|)\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(2|a|+1)\\&=\varepsilon .\end{aligned}}$