Grup Abelian

grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya

Dalam matematika, grup Abelian, juga disebut grup komutatif, adalah grup dimana hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya. Artinya, operasi grup adalah komutatif. Dengan tambahan sebagai operasi, bilangan bulat dan bilangan riil membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh ini. Grup Abelian dinamai matentikawan awal abad ke-19 Niels Henrik Abel.[1]

Konsep grup abelian mendasari struktur aljabar fundamental, seperti bidang, gelanggang, ruang vektor, dan aljabar. Teori grup abelian umumnya lebih sederhana dari teori rekan non-abelian, dan grup abelian hingga sangat dipahami dan diklasifikasikan.

Definisi

Struktur grup
Totalitasα Asosiatif Identitas Invers Komutativitas
Semigrupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kuasigrup Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Unital Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Loop Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup invers Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan
Grup Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grup Abelian Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan
Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Grup abelian adalah himpunan   dengan operasi   yang menggabungkan dua elemen   dan   dari   untuk membentuk elemen lain dari   dilambangkan  . Simbol   adalah placeholder umum untuk operasi diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi   harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai aksioma grup abelian:

Penutupan
Untuk  ,   dengan  , hasil operasi   dengan  .
Asosiatif
Untuk  ,  , dan   dalam  , persamaan  .
Elemen identitas
Elemen   dalam  , maka untuk semua elemen   dengan   adalah persamaan  .
Elemen invers
Untuk   dengan  , elemen   dalam   maka  , dimana   adalah elemen identitas.
Komutatif
Untuk  ,   dengan  ,  .

Grup operasi merupakan grup tersebut tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

Fakta

Notasi

Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

Konvensi Operasi Identitas Pangkat Invers
Penambahan   0    
Perkalian   atau   1    

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk modul dan gelanggang. Notasi aditif digunakan untuk menekankan bahwa grup tertentu adalah abelian, setiap kali grup abelian dan non-abelian beberapa pengecualian penting adalah dekat gelanggang dan grup terurut sebagian, dimana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

Tabel perkalian

Untuk memverifikasi bahwa grup hingga adalah abelian dengan tabel (matriks) yang dikenal sebagai tabel Cayley. Dengan cara menggunakan tabel perkalian. Jika grup   di bawah operasi  , ke   entri tabel ini menggunakan produk  .

Grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel tersebut simetris dengan diagonal utama. Karena grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika   untuk  , jika di luar   entri tabel sama dengan   entri untuk  , yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

Contoh

  • Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan  , dilambangkan  , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat apa pun untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, nol adalah identitas aditif, setiap integer   memiliki additive inverse,  , dan operasi penambahan bersifat komutatif karena   untuk dua bilangan bulat   dan  .
  • Setiap grup siklik   adalah abelian, karena jika  ,   dengan  , maka  . Jadi bilangan bulat,  , membentuk grup abelian dengan penambahan, seperti halnya bilangan bulat modulo  ,  .
  • Setiap gelanggang adalah grup abelian sehubungan dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen yang dapat dibalik, atau unit, membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan real bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
  • Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, jadi setiap subgrup memunculkan grup hasil bagi. Subkelompok, hasil, dan jumlah langsung dari gruo abelian. Grup abelian sederhana berhingga persis merupakan grup siklik dari prime urutan.[2]
  • Konsep grup abelian dan  - modul setuju. Lebih khusus lagi, setiap  -module adalah grup abelian dengan operasi penjumlahannya, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat   dengan cara yang unik.

Secara umum, matriks, bahkan matriks yang dapat dibalik, jangan membentuk kelompok abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa kelompok matriks adalah kelompok abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup   pada matriks rotasi.

Catatan sejarah

Camille Jordan menamai grup abelian setelah Norsk matematikawan Niels Henrik Abel, karena Abel menemukan bahwa komutatifitas kelompok polinomial menyiratkan bahwa akar polinomial dapat dihitung dengan menggunakan akar.[3]:144–145

Sifat

Jika   adalah bilangan asli dan   adalah elemen dari grup abelian   yang ditulis secara aditif, kemudian   bisa didefinisikan sebagai   ( ) dan  . Dengan cara ini,   menjadi modul di atas cincin   dari bilangan bulat. Faktanya, modul lebih dari   dapat diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang kelompok abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama  ) sering dapat digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas yang merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara terbatas, teorema ini menjamin bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak kelompok bentuk yang tak terhingga   untuk   prime, dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan  .

Jika   adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah mereka  , ditentukan oleh  , sekali lagi adalah homomorfisme. (Ini tidak benar jika   adalah grup non-abelian.) Himpunan   dari semua homomorfisme grup dari   hingga   oleh karena itu merupakan grup abelian dalam dirinya sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat . Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup.[4]:49–50 Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subkelompok aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak terhingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (ini hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat   dari grup   adalah himpunan elemen yang bepergian dengan setiap elemen  . Grup   adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya  . Pusat dari grup   selalu merupakan karakteristik subkelompok abelian dari  . Jika grup hasil bagi   grup dengan pusat siklik lalu   adalah abelian.[5]

Grup abelian hingga

Grup siklik dari bilangan bulat modulo  ,  , termasuk di antara contoh pertama kelompok. Ternyata kelompok abelian berhingga yang sewenang-wenang adalah isomorfik terhadap sejumlah langsung kelompok siklik berhingga dari tatanan kekuatan utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian yang lengkap. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 dari Georg Frobenius dan Ludwig Stickelberger dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Setiap kelompok orde utama isomorfik ke kelompok siklik dan oleh karena itu abelian. Setiap kelompok yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian.[6] Faktanya, untuk setiap bilangan prima   ada (hingga isomorfisme) tepat dua kelompok orde  , yaitu   and  .

Klasifikasi

Teorema fundamental dari kelompok abelian hingga menyatakan bahwa setiap kelompok abelian hingga   dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prime dengan urutan pangkat; itu juga dikenal sebagai teorema dasar untuk kelompok abelian hingga.[7] Ini digeneralisasikan oleh teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; ini pada gilirannya mengakui banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-kelompok modern sampai kemudian, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Gruo siklik   dengan urutan   isomorfik dengan jumlah langsung dari   dan   jika dan hanya jika   dan   adalah coprime. Oleh karena itu, setiap grup abelian berhingga   adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

 

dengan salah satu cara kanonik berikut:

  • bilangan   adalah kekuatan bilangan prima (tidak harus berbeda),
  • atau   membagi  , yang membagi  , dan seterusnya hingga  .

Sebagai contoh,   dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik berorde 3 dan 5:  . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian ordo 15, yang mengarah pada kesimpulan luar biasa bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk   (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8),   (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau  .

Lihat juga daftar grup kecil untuk grup abelian hingga berorde 30 atau kurang.

Automorfisme

Seseorang dapat menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan  . Untuk melakukan ini, kita menggunakan fakta bahwa jika   membagi sebagai jumlah langsung   dari subgrup coprime urutan, lalu  .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari   itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow   subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat  ). Perbaiki bilangan prima   dan anggaplah eksponen   dari faktor siklik dari subgrup Sylow   disusun dalam urutan yang meningkat:

 

untuk beberapa  . Seseorang perlu menemukan automorfisme

 

Satu kasus khusus adalah ketika  , sehingga hanya ada satu faktor daya utama siklik pada Sylow subgrup   dengan  . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik terbatas dapat digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan   sewenang-wenang tetapi   untuk  . Di sini, seseorang sedang mempertimbangkan   menjadi bentuk

 

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi   di atas bidang hingga elemen   pada  . Oleh karena itu, automorfisme subkelompok ini diberikan oleh transformasi linier yang dapat dibalik, jadi

 

dimana   adalah grup linear umum yang sesuai. Ini dengan mudah terbukti memiliki keteraturan

 

Dalam kasus yang paling umum, di mana   dan   berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika seseorang mendefinisikan

 

dan

 

lalu seseorang memilikinya secara khusus  ,  , dan

 

Seseorang dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan pesanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

Catatan tentang tipografi

Di antara kata sifat matematika yang diturunkan dari nama diri dari seorang ahli matematika, Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil a, bukan huruf besar A, yang menunjukkan betapa konsep tersebut ada di mana-mana dalam matematika modern.[8]

Lihat pula

  • Commutator subgroup – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
  • Abelianisasi – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
  • Kelompok dihedral urutan 6 – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya, grup non-abelian terkecil
  • Grup abelian dasar – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
  • Dualitas Pontryagin – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya

Catatan

  1. ^ Jacobson 2009, p. 41
  2. ^ 2012, p. 32.
  3. ^ D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145.
  4. ^ Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50.
  5. ^ Rose 2012, p. 48.
  6. ^ Rose 2012, p. 79.
  7. ^ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.
  8. ^ "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016. 

Referensi

Pranala luar