Rantai (topologi aljabar)

Dalam topologi aljabar, sebuah rantai-$k$ adalah sebuah kombinasi linear formal dari sel-$k$ dalam kompleks sel. Dalam kompleks simplisial (masing-masing kompleks kubik), rantai-$k$ merupakan kombinasi simplisial-$k$ (kubik-$k$). Rantai digunakan dalam homologi, unsur grup homologi merupakan kelas kesetaraan rantai.

Pengintegralan pada rantai

Pengintegralan didefinisikan pada rantai dengan mengambil kombinasi linear mengenai integral atas simpleks dalam rantai dengan koefisien (yang biasanya bilangan bulat). Himpunan semua rantai-$k$ membentuk sebuah grup dan barisannya grup-grup ini disebut sebuah kompleks rantai.

Operator batas pada rantai

Batas lengkung poligonal adalah sebuah kombinasi linear dari simpulnya, dalam kasus ini, beberapa kombinasi linear $A_{1}$, melalui $A_{6}$. Asumsi semua ruasnya berorientasi dari kiri ke kanan (dalam urutan menaik dari $A_{k}$ ke $A_{k+1}$), batasnya adalah $A_{6}-A_{1}$.

Sebuah lengkung poligonal tertutup, mengasumsi orientasi konsisten, memiliki batas nol.

Batas rantai merupakan kombinasi linear mengenai batas-batas dari simpleks dalam rantai. Batas rantai-$k$ adalah sebuah rantai-$(k-1)$. Perhatikan bahwa batas simpleks bukanlah sebuah simpleks, tapi sebuah rantai dengan koefisien $1$ atau $-1$ – dengan demikian rantai adalah ketertutupan simpleks di bawah operator batas

Contoh 1: Batas lintasannya adalah beda formal titik ujungnya: ini adalah sebuah jumlah teleskopik, Untuk mengilustrasikan, jika rantai-1 $c=t_{1}+t_{2}+t_{3}$ adalah sebuah lintasan dari titik $v_{1}$ ke titik $v_{4}$, dimana $t_{1}=[v_{1},v_{2}]$, $t_{2}=[v_{2},v_{3}]$, dan $t_{4}=[v_{3},v_{4}]$ simpleks-1 konstituennya, maka

${\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}]\end{aligned}}$

Contoh 2: Batas dari segitiga adalah sebuah jumlah formal sisinya dengan tanda disusun untuk membuat lintang dari batas yang berlawanan dengan arah jarum jam.

Sebuah rantai disebut siklus ketika batasnya adalah nol. Sebuah rantai yang merupakan batas rantai lainnya disebut batas, Batas-batasnya adalah siklus, jadi rantainya membentuk sebuah kompleks rantai, yang grup homologinya (batas-batas modulo siklus) disebut grup homologi simplisial

Contoh 3: Sebuah siklus-0 merupakan sebuah kombinasi linear mengenai titik-titik shingga jumlah semua koefisiennya adalah 0. Dengan demikian, grup homologi-0 mengukur jumlah komponnen terhubung lintasan dari ruang.

Contoh 4: Bidangnya tertusuk di asalnya memiliki grup homologi-1 taktrivial ketika lingakrannya adalah siklus, tetapi bukan sebuah batas.

Dalam geometri diferensial, kedualan antara operator batas pada rantai dan turunan luar diekspresikan oleh teorema Stokes umum.