Medan bilangan aljabar

Dalam matematika, bidang bilangan aljabar (atau lebih sederhana bilangan bidang) F adalah derajat (dan karenanya aljabar) ekstensi bidang dari bidang dari bilangan rasionalQ. Jadi F adalah bidang yang berisi Q dan memiliki dimensi jika dianggap sebagai ruang vektor di atas 'Q' .

Studi tentang bidang bilangan aljabar, dan, secara lebih umum, perluasan aljabar bidang bilangan rasional, adalah topik utama teori bilangan aljabar.

Definisi

Prasyarat

Pengertian bidang bilangan aljabar bergantung pada konsep sebuah bidang. Bidang terdiri dari himpunan elemen bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penambahan, dan perkalian, dan beberapa asumsi distributivitas. Contoh bidang yang menonjol adalah bidang bilangan rasional, biasanya dilambangkan Q, bersama dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya yang biasa.

Gagasan lain yang diperlukan untuk mendefinisikan bidang bilangan aljabar adalah ruang vektor. Sejauh yang dibutuhkan di sini, ruang vektor dapat dianggap terdiri dari urutan (atau tupel)

(x₁, x₂, ...)

yang entri adalah elemen dari bidang tetap, seperti bidang Q. Dua urutan seperti itu dapat ditambahkan dengan menambahkan entri satu per satu. Selanjutnya, urutan apa pun dapat dikalikan dengan satu elemen c dari bidang tetap. Kedua operasi ini dikenal sebagai penambahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sejumlah properti yang berfungsi untuk mendefinisikan ruang vektor secara abstrak. Ruang vektor diperbolehkan untuk menjadi "berdimensi tak hingga", artinya deretan yang menyusun ruang vektor memiliki panjang tak hingga. Namun, jika ruang vektor terdiri dari urutan hingga

(x₁, x₂, ..., x_n),

ruang vektor dikatakan berhingga dimensi, n.

Definisi

Bidang bilangan aljabar (atau hanya bidang bilangan) adalah terbatas dari derajat ekstensi bidang dari bidang bilangan rasional. Di sini derajat berarti dimensi bidang sebagai ruang vektor di atasnya Q.

Contoh

Bidang bilangan terkecil dan paling dasar adalah bidang Q dari bilangan rasional. Banyak properti bidang angka umum dimodelkan setelah properti Q.
rasional Gaussian, dilambangkan Q(i) (dibaca sebagai "Q berdampingan i"), membentuk contoh nontrivial pertama dari bidang angka. Unsur-unsurnya adalah ekspresi bentuk

a+bi

di mana a dan b adalah bilangan rasional dan i adalah satuan imajiner. Ekspresi seperti itu dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikalikan sesuai dengan aturan aritmatika biasa dan kemudian disederhanakan

i² = −1.

Secara eksplisit,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Bilangan rasional Gaussian bukan nol adalah dapat dibalik, yang dapat dilihat dari identitasnya

(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

Oleh karena itu, rasio Gaussian membentuk bidang bilangan yang berdimensi dua sebagai vektor ruang Q.

Secara lebih umum, untuk bilangan bulat bebas persegi d , bidang kuadrat

Q(√d)

adalah bidang angka yang diperoleh dengan menghubungkan akar kuadrat d dengan bidang bilangan rasional. Operasi aritmatika dalam bidang ini didefinisikan dalam analogi dengan kasus bilangan rasional gaussian, d = − 1.

Bidang siklotomik

Q(ζ_n), ζ_n = exp (2πi / n)

adalah bidang angka yang diperoleh dari Q dengan menyatukan akar kesatuan primitif ke n ζ_n. Bidang ini berisi semua akar kesatuan yang kompleks dan dimensinya Q adalah sama dengan φ(n), di mana φ adalah Fungsi total Euler.

Bilangan riil, R, dan bilangan kompleks, C, adalah bidang yang memiliki dimensi tak hingga sebagai Q pada ruang vektor, oleh karena itu, bidang tersebut adalah bidang angka bukan . Ini mengikuti dari terhitung dari R dan C sebagai set, sedangkan setiap bidang angka harus dihitung.
Himpunan Q² dari pasangan terurut bilangan rasional, dengan penambahan dan perkalian entrywise adalah aljabar komutatif dua dimensi Q. Namun, ini bukan bidang, karena memiliki pembagi nol:

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

ζ-fungsi, L-fungsi dan rumus bilangan kelas

Kegagalan faktorisasi unik diukur dengan nomor kelas, biasanya dilambangkan dengan h , kardinalitas dari apa yang disebut grup kelas ideal. Grup ini selalu terbatas. Cincin bilangan bulat O_F memiliki faktorisasi unik jika dan hanya jika itu adalah cincin utama atau, ekuivalen, jika F memiliki bilangan kelas 1. Mengingat bidang angka, nomor kelas seringkali sulit dihitung. Masalah bilangan kelas, kembali ke Gauss, berkaitan dengan keberadaan bidang bilangan kuadrat imajiner (yaitu,Q(√−d), d ≥ 1) dengan nomor kelas yang ditentukan. Rumus nomor kelas menghubungkan h dengan invarian fundamental lainnya dari F . Ini melibatkan Fungsi zeta Dedekind ζ_F(s), berfungsi dalam variabel kompleks s, didefinisikan oleh

\zeta _{F}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}

.

(Produk melampaui semua cita-cita utama O_F, $N({\mathfrak {p}})$ menunjukkan norma ideal prima atau, ekuivalen, jumlah elemen (terbatas) dalam bidang residu $O_{F}/{\mathfrak {p}}$ . Produk tak terbatas hanya menyatu untuk Re(s) > 1, secara umum kelanjutan analitik dan persamaan fungsional untuk fungsi zeta diperlukan untuk mendefinisikan fungsi untuk semua 's'). Fungsi Dedekind zeta menggeneralisasi fungsiRiemann zeta ζ_Q(s) = ζ(s).

Rumus nomor kelas menyatakan itu ζ_F(s) memiliki tiang sederhana pada s = 1 dan pada titik ini residu diberikan oleh

{\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.

Lihat juga

Catatan

Referensi

Cohn, Harvey (1988), A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Universitext, New York: Springer-Verlag
Conrad, Keith http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic Number Fields (edisi ke-2nd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2
Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (edisi ke-3), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001
André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995