Teorema Apollonius

Dalam geometri, teorema Apollonius merupakan sebuah teorema yang mengaitkan panjang garis berat segitiga dengan panjang sisinya. Ini menyatakan bahwa "jumlah suatu persegi dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali persegi pada setengah sisi ketiga, bersama dengan kedua persegi pada garis berat yang membagi sisi ketiga".

Lebih khususnya, dalam suatu segitiga $ABC$ , jika $AD$ merupakan sebuah garis berat, maka

$|AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|AD|^{2}+|BD|^{2})$

Ini adalah sebuah kasus khusus mengenai teorema Stewart. Untuk sebuah segitiga sama kaki dengan $|AB|=|AC|$ , garis berat $AD$ tegak lurus dengan $BC$ dan teoremanya mereduksi ke teorema Pythagoras untuk segitiga $ADB$ (atau segitiga $ADC$ ). Dari fakta bahwa diagonal jajar genjang membagi satu sama lain, teoremanya setara dengan hukum jajar genjang.

Teorema ini dinamai untuk seorang matematikawan Yunani, Apollonius dari Perga.

Bukti

Bukti teorema Apollonius

Teorema tersebut dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus mengenai teorema Stewart, atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat hukum jajaran genjang). Berikut ini merupakan sebuah bukti bebas menggunakan hukum kosinus.^[1]

Misalkan segitiga memiliki sisi $a,b,c$ dengan sebuah garis berat $d$ digambar ke sisi $a$ . Misalkan $m$ menjadi panjang dari segmen $a$ yang dibentuk oleh garis berat, jadi $m$ adalah setengah dari $a$ . Misalkan sudut dibentuk di antara $a$ dan $d$ menjadi $\theta$ dan $\theta '$ , dimana $\theta$ termasuk $b$ dan $\theta '$ termasuk $c$ . Maka $\theta '$ adalah suplemen dari $\theta$ dan $\cos \theta '=-\cos \theta$ . Hukum kosinus untuk $\theta$ dan $\theta '$ menyatakan bahwa