Limit sepihak

Dalam kalkulus, limit sepihak adalah salah satu dari dua batas dari fungsi $f(x)$ dari variabel bilangan real $x$ sebagai $x$ mendekati titik tertentu baik dari kiri atau dari kanan.

Notasi

Fungsi $f(x)=x^{2}+\operatorname {sgn}(x)$ (dimana sgn adalah fungsi signum atau fungsi tanda) memiliki limit kiri dari $-1$, limit kanan dari $+1$, dan sebuah nilia fungsi dari $0$ di titik $x=0$.

Limit sebagai $x$ menurun di nilai mendekati $a$ ($x$ mendekati $a$ "dari kanan" atau "dari atas") dapat dilambangkan:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)$ atau $\lim _{x\downarrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x\searrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)$

Limit dari $x$ meningkat di nilai mendekati $a$ ($x$ mendekati $a$ "dari kiri" atau "dari bawah") dapat dilambangkan:

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)$ atau $\lim _{x\uparrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x\nearrow a}\,f(x)$ atau $\lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)$

Dalam teori probabilitas, notasi pendek biasa digunakan:

$f(x-)$ untuk limit kiri dan $f(x+)$ untuk limit kanan.

Dua limit sepihak ada dan sama jika limit $f(x)$ ketika $x$ mendekati $a$ ada. Dalam beberapa kasus di mana limit

$\lim _{x\to a}f(x)\,$

tidak ada, dua limit sepihak tetap ada. Akibatnya, limit dari nilai $x$ mendekati pada nilai $a$ terkadang disebut "dua sisi limit".

Definisi

Dalam beberapa kasus, salah satu dari dua limit sepihak ada dan yang lainnya tidak, dan dalam beberapa kasus tidak ada. Limit sebelah kanan dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$,

dan limit sebelah kiri dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$,

dimana $I$ mewakili suatu selang yang ada di ranah pada nilai $f$.

Contoh

Plot dari fungsi ${\frac {1}{1+2^{-{\frac {1}{x}}}}}$.

Salah satu contoh fungsi dengan batas satu sisi yang berbeda adalah sebagai berikut:

$\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-{\frac {1}{x}}}}=1$,

sedangkan

$\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-{\frac {1}{x}}}}=0$.

Hubungan dengan definisi topologis limit

Limit sepihak ke sebuah titik $p$ berpadanan dengan definisi limit umum, dengan ranah fungsi terbatas ke satu sisi, dengan memungkinkan bahwa ranah fungsinya adalah himpunan bagian dari ruang topologis, atau dengan menganggap sebuah subruang sepihak, termasuk $p$. Secara bergantian, salah satunya dapat menganggap ranahnya dengan sebuah topologi selang setengah terbuka.

Teorema Abel

Teorema Abel merupakan sebuah teorema penting memperlakukan limit sepihak deret kuasa di batas-batas selang kekonvergennya. Lihat disini untuk lebih lanjut.

Lihat pula

• Garis real diperluas dengan projektif
• Semi-keterdiferensialan
• Limit atas dan limit bawah

Pranala luar

• One-sided limit, PlanetMath.org.